Теория вероятности и математическая статистика 4 (стр. 5 из 18)

Было замечено, что при определенных условиях массовые случайные явления порождают величину неслучайную, которая подчиняется вполне определенным закономерностям. Все полученные соответствующие теоремы и образуют теоремы закона больших чисел, в которых приведены условия, когда среднее значение случайных величин стремится к величине не случайной. Таким образом, закон больших чисел – это совокупность теорем, в которых приведены условия, при которых последовательность случайных величин подчиняется определенным закономерностям, то есть стремится к величине неслучайной.

Неравенство Чебышева:

Теорема: Вероятность того, что случайная величина

отклоняется от своего математического

ожидания на величину не меньше

, ограничена сверху величиной , где -

положительное действительное число:

или

Теорема Чебышева (закон больших чисел).

Теорема: Если

последовательность независимых случайных величин, которые имеют

конечное математические ожидания и ограниченные дисперсии

, то

средние арифметические наблюденных значений случайных величин сходиться по

вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

.

Закон больших чисел справедлив и для зависимых случайных величин, то есть справедлива

теорема Маркова:

Теорема: : Если для случайных величин

выполняется условие

, то среднее арифметическое наблюденных случайных величин

сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

Теоремы Бернулли : Если производится

испытаний, в каждом из которых некоторое событие

может появиться с вероятностью , то относительная частота появления

события в

испытаниях сходится по вероятности к вероятности появления

события в каждом испытании:

Теорема Пуассона: Пусть производится

независимых испытаний, в каждом их которых событие

появляется с вероятностью . Тогда при неограниченном

увеличении числа испытаний относительная частота появления события

сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятности

появления события в различных испытаниях:

Теорема Лендеберга-Леви: Пусть

независимые одинаково распределенные случайные

величины с математическим ожиданием

и дисперсией . Закон

распределения нормируемой случайной величины

стремится к нормальному

закону распределения с плотностью распределения вероятностей равной

, где

- нормированная случайная величина.

Это центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных независимых величин.

Теорема Ляпунова: Если

независимые случайные величины, имеющие конечные

математические ожидания

и дисперсии и абсолютные центральные

моменты третьего порядка, удовлетворяющие условиям:

то закон распределения величины

сходится к нормальному закону

распределения с плотностью распределения вероятности

для которой

Эта теорема имеет большое практическое значение, так как, используя ее, можно вычислить вероятность того, что сумма независимых случайных величин принимает значение, принадлежащее интервалу. Условие

характеризует тот факт, что все случайные величины сравнимы между собой, то есть ни одна из случайных величин не имеет преимущество перед другими случайными величинами.

Рассмотрим дискретную случайную величину

, которая характеризует число появлений события в независимых испытаниях. Эту случайную величину можно представить в виде суммы случайной величины , каждая из которых характеризует число появлений события в испытании. Нормированная сумма будет иметь вид: .

Если случайная величина

подчиняется биноминальному закону распределения, то вычисление вероятности того, что некоторое событие появиться раз в испытаниях по формуле Бернулли затруднительно, если достаточно большое, а мало. В этом случае можно воспользоваться следующими теоремами:

Теорема Мавра -Лапласа (локальная): Пусть производится

испытаний, в каждом из которых

некоторое событие

может появиться с вероятностью . Тогда для всех , удовлетворяющих условию ( где - произвольные числа) выполняется соотношение:

Локальная теорема используется при больших значениях

для вычисления , где некоторое событие наступает раз в испытаниях.

Теорема Муавра- Лапласа (интегральная): Пусть производится

независимых испытаний,