Теория вероятности и математическая статистика 4 (стр. 7 из 18)

произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Коэффициент корреляции удовлетворяет условию

и определяет степень линейной

зависимости между

и . Случайные величины, для которых

=0 , называются

некоррелированными.

Уравнения

и называют уравнениями регрессии, а линии, определяемые ими, - линиями регрессии.

Лекция №9.Случайные функции. Цепи Марков. Пуассоновский поток событий

Пусть

- некоторое множество действительных чисел. Если каждому значению поставлена в соответствие случайная величина , то на множестве задана случайная функция .

Если

- время, то случайная функция называется случайным процессом.

Значение случайной функции

при где , называется сечением. Каждое испытание дает конкретную функцию , которая называется реализацией (траекторией) случайной функции.

XX сечение

0 t 0 tt

Реализация Семейство реализаций

При зафиксированном значении аргумента t случайная функция X(t) превращается в случайную величину- сечение случайной функции или процесса. Тогда X(t) в данный момент времени t определяется плотностью распределения f(x ; t). Однако одномерные законы распределения и их числовые характеристики, вычисленные для одного момента времени ( для одного сечения семейства реализаций) не могут оценивать характер изменения процесса во времени. Для этой цели используют характеристики связи между ординатами, взятыми в различные моменты времени. Наиболее полно эти связи характеризуются многомерной плотностью распределения

n произвольных сечений процесса. Однако многомерная плотность распределения не всегда известна, поэтому для практических приложений случайные процессы характеризуются математическим ожиданием, дисперсией и корреляционной функцией.

Математическим ожиданием случайной функцией

называют неслучайную функцию , которая при каждом значении аргумента равна математическому ожиданию соответствующего сечения семейства реализаций случайной функции:

и является средней траекторией для всех возможных реализаций.

Дисперсией случайной функции

называют неслучайную функцию , значения которой для каждого равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции:

и характеризующей возможный разброс реализаций случайной функции относительно средней траектории.

Корреляционной функцией случайной функции

называют неслучайную функцию двух аргументов , которая при каждой паре значений равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:

Корреляционная функция характеризует степень зависимости между сечениями случайной функции, относящихся к различным

. Положительное значение корреляционной функции свидетельствует о том, что при увеличении (уменьшении) ординат процесса в сечении в среднем увеличиваются (уменьшаются) ординаты при . Отрицательная корреляция означает увеличение (уменьшение) в среднем ординат в сечении при их уменьшении (увеличении) в сечении .

Корреляционная функция является симметричной функцией своих аргументов, а ее ординаты по абсолютному значению не могут быть больше произведений среднеквадратичных отклонений в моменты времени

и :

Процесс считается стационарным, если его многомерная плотность распределения не изменяется при сдвиге соответствующих моментов времени на любую величину. В рамках корреляционной теории , процесс считается стационарным, если его ковариационная функция

не зависит от времени, а зависит только от разности ,

Корреляционная функция стационарного процесса по модулю не превосходит дисперсию:

Стационарный процесс у которого корреляционная функция стремится к нулю

при называют эргодичным. Эргодические процессы представляют наибольший интерес для практических приложений, поскольку их характеристики, определяемые по семейству и по одной реализации совпадают:

Марковскими случайными процессами называют такие процесса, у которых плотность совместного распределения произвольных двух сечений полностью определяют характер процессов, т.е. дальнейшее поведение процесса зависит только от значений, принятых процессом в настоящий момент времени , и не зависит от ранее принятых.

Марковский случайный процесс, в котором сама функция принимает счетное множество возможных состояний (дискретные состояния)

, переход из одного состояния в другое происходит скачком под влиянием случайных факторов, называют цепями Маркова . Если переход из состояния в состояние происходит в дискретные моменты времени , то такой процесс называют дискретными цепями Маркова. Если переходы возможны в любой момент времени, то процесс называют непрерывными цепями Маркова.

Вероятность того, что дискретная цепь Маркова в момент времени

примет значение при условии, что в момент времени она имела значение , называют вероятностью перехода из состояние в состояние . Если эта вероятность зависит от длины промежутка времени и нет зависит от начала отсчета времени, т.е. не зависит от номера шага, то такую цепь Маркова называют однородной: .