Метрические характеристики графа (стр. 2 из 3)
Матрица I называется матрицей инцидентности графа G. В каждом ее столбце ровно две единицы, равных столбцов нет. Как и выше, соответствие G→I(G) является биекцией множества помеченных (n, m)-графов с занумерованными ребрами на множество nЧm-матриц, удовлетворяющих описанным условиям.
Матрица инцидентности I для орграфа:
Теорема. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы инцидентности получаются друг из друга произвольными перестановками строк и столбцов.
Теорема верна также для мультиграфов, псевдографов и орграфов.
Свойства матриц смежности и инцидентности:
1) Сумма элементов матрицы A(G), где G=(V, E)– мультиграф, V={v1, v2, ..., vn}, по i-йстроке (или по i-му столбцу) равна δ(vi). 2) Сумма элементов матрицы A(G), где G=(V, E)– ориентированный псевдограф,
V={v1, v2, ... , vn}, по i-йстроке и по i-му столбцу соответственно равны δ(vi), δ(vi).
3) Пусть G– ориентированный мультиграф с непустым множеством дуг. Тогда: а) сумма строк матрицы I(G) является нулевой строкой; б) любая строка матрицы I(G) является линейной комбинацией остальных строк; в) ранг матрицы I(G) не превосходит n–1; г) для любого контура матрицы Gсумма столбцов матрицы I(G), соответст-вующих дугам, входящим в этот контур, равна нулевому столбцу.
4) Пусть G– мультиграф с непустым множеством ребер. Тогда при покоординат-ном сложении по модулю 2: а) сумма строк матрицы I(G) является нулевой строкой; б) любая строка матрицы I(G) является суммой остальных строк; в) для любого цикла в Gсумма столбцов матрицы I(G), соответствующих реб-рам, входящим в этот цикл, равна нулевому столбцу.
ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФАМИ
Граф H называется подграфом графа G, если VH
VG, EH EG. Если H – под-граф графа G, то говорят, что H содержится в G. Подграф называется собственным, если он отличен от самого графа.Подграф H называется остовным подграфом графа G, если VH =VG.
Если множество вершин подграфа H есть U, а множество его ребер совпадает с множеством всех ребер графа G, оба конца которых принадлежат U, то H называется подграфом, порожденным множеством вершин U, и обозначается G(U).
Если множество ребер подграфа H есть E'
EG, а множество его вершин совпадает с множеством всех концов ребер из E' вершин графа G, то подграф H называется подграфом, порожденным множеством ребер E' и обозначается G(E').Пусть v – вершина графа G. Тогда операцию построения графа H=G–v называют удалением вершины v. Построенный в результате этой операции граф H содержит все ребра множества ЕG кроме инцидентных вершине v, а VH =VG\{v}.
Пусть e – ребро графа G. Тогда операцию построения графа H=G–e называют удалением ребра e. Построенный в результате этой операции граф H содержит все вершины графа G, а EH =EG\{e}.
Удаление вершины или ребра, а также переход к подграфу – это операции, с помощью которых можно из имеющегося графа получать другие графы с мень-шим числом элементов.
Рассмотрим теперь операции, позволяющие получать из имеющихся графов графы с большим числом элементов.
Если вершины u и v графа G=(VG, EG) не смежны, то говорят, что граф H=(VH, EH) получен из графа G добавлением ребра e={u, v}, если VH =VG и EH = EG{e}, то пишут H=G+e.
Граф H называется объединением (или наложением) графов F и G, если H =VF∩VG и EH =EF∩EG. В этой ситуации пишут H=F∩G. Объединение F∩G называется дизъюнктивным, если VF ∩ VG =∅. Аналогично определяются объединение и дизъюнктивное объединение любого множества графов, причем в последнем случае никакие два из объединяемых графов не должны иметь общих вершин.
Пусть G1=(V1, E1) и G2=(V2, E2). Тогда произведением графов (обозначается G1ЧG2) называется такой граф G, для которого VG =V1ЧV2– декартово произведе-ние множеств вершин исходных графов, а EG определяется следующим образом: вершины (u1, u2) и (v1, v2) смежны в графе G тогда и только тогда, когда u1=v1, а u2 и v2 смежны в G2, или u2=v2, а u1 и v1 смежны в G1
МАРШРУТЫ, ЦЕПИ, ЦИКЛЫ
Чередующаяся последовательность v1, e1, v2, e2, ... , en, vn+1 вершин и ребер графа такая, что ei =vivi+1 (i=1, n ), называется маршрутом, соединяющим вершины 1 и vn+1 (или (v1vn+1)-маршрутом). Очевидно, что для задания маршрута в графе достаточно задать последовательность v1, v2, ..., vn+1. его вершин, либо последовательность e1, e2,... , en его ребер.
Вершина v называется достижимой из вершины u, если существует (u, v)-маршрут. Любая вершина считается достижимой из себя самой.
Маршрут называется цепью, если все его ребра различны, и простой цепью, если все его вершины, кроме, возможно, крайних, различны. Маршрут (1) называется циклическим, если v1=vn+1. Циклическая цепь называется циклом, а циклическая простая цепь – простым циклом. Число ребер в маршруте называется его длиной. Цикл длины 3 часто называют треугольником. Длина всякого цикла не менее трех, если речь идет о простом графе, поскольку в таком графе нет петель и кратных ребер. Минимальная из длин циклов графа называется его обхватом.
Свойства маршрутов, цепей и циклов:
1) Всякий незамкнутый (u, v)-маршрут, содержит в себе простую (u, v)-цепь. В частности, любая (u, v)-цепь, содержит в себе простую (u, v)-цепь. Причем, если (u, v)-маршрут содержит в себе вершину w (w≠u и w≠v), то в общем случае, простая (u, v)-цепь может не содержать в себе вершину w.
2) Всякий непростой цикл можно разбить на два или более простых. Причем для замкнутого маршрута такое утверждение не верно.
3) Всякая непростая (u, v)-цепь, может быть разбита на простую (u, v)-цепь и один или более простых циклов. Причем для незамкнутого маршрута такое утверждение не верно.
4) Для любых трех вершин u, w, v из существования (u, w)-цепи их и (w, v)-цепи, следует существование (u, v)-цепи. Причем может не существовать (u, v)-цепи, содержащей вершину w.
5) Объединение двух несовпадающих простых (u, v)-цепей содержит простой цикл. 6) Если граф содержит 2 несовпадающих цикла с общим ребром e, то после удаления этого ребра граф по-прежнему содержит цикл.
Если два графа изоморфны:
1) то они одного порядка;
2) у них одинаковое количество ребер;
3) для произвольного i,0≤i≤n–1, (n – порядок графов) количество вершин степени i, у обоих графов одинаковое;
4) у них совпадают обхваты;
5) у них одинаковое количество простых циклов минимальной длины (по количеству ребер).
Граф называется связным, если любые две его несовпадающие вершины соединены маршрутом. Очевидно, что для связности графа необходимо и достаточно, чтобы в нем для какой-либо фиксированной вершины u и каждой другой вершины v существовал (u, v)-маршрут.
Теорема. Граф G=(V,E) связен тогда и только тогда, когда множество его вершин нельзя разбить на два непустых подмножества V1 и V2 так, чтобы обе граничные точки каждого ребра находились в одном и том же множестве.
Всякий максимальный связный подграф графа G называется связной компонентой (или компонентой) графа G. Слово "максимальный" означает максимальный относительно включения, т.е. не содержащийся в связном подграфе с большим числом элементов. Множество вершин связной компоненты называется областью связности.
Для ориентированного графа вводится понятие ориентированного маршр-та – это последовательность вида (1), в которой ei=(vi,vi+1). Аналогом цепи в этой ситуации служить путь (ориентированная цепь). Аналогом цикла служит контур (ориентированный цикл).
Орграф называется сильносвязным, если любые две его вершины достижимы друг из друга. Орграф называется одностороннесвязным, если для любой пары его вершин по меньшей мере одна достижима из другой. Орграф называется сла-босвязным, если любые две вершины его основания соединены маршрутом. Орг-раф называется несвязным, если его основание несвязный псевдограф.
Теорема. Орграф является сильносвязным тогда и только тогда, когда в нем есть остовной циклический маршрут.
Необходимость. Пусть G – сильносвязный орграф и T=(v0, x1, v1,..., xn, v0) – его циклический маршрут, проходящий через максимально возможное число вершин. Если этот маршрут не является остовным, то возьмем вне его вершину v. Так как G – сильносвязный орграф, то существуют маршруты T1=(v0, y1, ..., v), T2=(v, z1, ..., v0). Но тогда циклический маршрут T’=(v0, x1, v1, ..., xn, v0, y1, ..., v, z1, ..., v0) содержит большее число вершин, чем T, что противоречит выбору маршру-та T. Следовательно, T – остовной маршрут.
Достаточность. Пусть u и v – две произвольные вершины орграфа G, а T=(v0, x, ..., v, y, ..., u, z, ..., v0) – циклический маршрут. Тогда u достижима из v спомо-щью маршрута (v, y, ..., u)– части маршрута T,– а v из u – с помощью маршрута (u, z,..., v0, x, ..., v).3
Теорема. Орграф является одностороннесвязным тогда и только тогда, когда в нем есть остовной маршрут.
Теорема. Орграф является слабосвязным тогда и только тогда, когда в его основание есть связный псевдограф.
Сильносвязной компонентой орграфа называется его максимальный относи-тельно включения сильносвязный подграф
МЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРАФА
Пусть G– связный граф, а uи v– две его несовпадающие вершины. Длина кратчайшего (u, v)-маршрута называется расстоянием между вершинами uи vи обозначается d(u, v). Положим d(u, u)=0. Очевидно, что введенное таким образом расстояние удовлетворяет следующим аксиомам метрики:
1. d(u, v)≥0;
2. d(u, v)=0 тогда и только тогда, когда u=v;
3. d(u, v)=d(v, u);
4. d(u, v)+ d(v, w)=d(u, w)(неравенство треугольника).
Для фиксированной вершины u величина e(u)=max d (uv)называется эксцентриситетом вершины u. Максимальный среди всех эксцентриситетов вершин называется диаметром графа G и обозначается через d(G). Тем самым
dG =max e(u)
Вершина v называется периферийной, если e(v)=d(G). Простая цепь длины d(G), расстояние между концами которой равно d(G), называется диаметральной цепью.