Метрические характеристики графа (стр. 3 из 3)
Минимальный из эксцентриситетов вершин связного графа называется его радиусом и обозначается через r(G).
Очевидно, что радиус графа не больше его диаметра.
Вершина v называется центральной, если e(v)=r(G). Множество всех центральных вершин графа называется его центром. Граф может иметь единственную центральную вершину или несколько центральных вершин. Наконец, центр графа может совпадать с множеством всех вершин. Например, центр простой цепи Pn при четном числе вершин n состоит ровно из двух вершин, а при нечетном – из одной; для цикла же Cn все вершины являются центральными.
Задача нахождения центральных вершин графа постоянно возникает в практической деятельности людей. Пусть, например, граф представляет сеть дорог, т.е. вершины его соответствуют отдельным населенным пунктам, а ребра – дорогам между ними. Требуется оптимально разместить больницы, магазины. В подобных ситуациях критерий оптимальности часто заключается в оптимизации «наихудшего» случая, т.е. в минимизации расстояния от места обслуживания до наиболее удаленного пункта. Следовательно, местами размещения должны быть центральные вершины графа.
Реальные задачи (их называют минимаксными задачами размещения) отличаются от идеальной тем, что приходится ещё учитывать другие обстоятельства – фактические расстояния между отдельными пунктами, стоимость, время проезда и прочее. Для того чтобы учесть это, используют взвешенные графы.
ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ В РАЗЛИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ НАУКИ И ТЕХНИКИ.
Информация.
Двоичные деревья играют весьма важную роль в теории информации. Предположим, что определенное число сообщений требуется закодировать в виде конечных последовательностей различной длины, состоящих из нулей и единиц. Если вероятности кодовых слов заданы, то наилучшим считается код, в котором средняя длина слов минимальна по сравнению с прочими распределениями вероятности. Задачу о построении такого оптимального кода позволяет решить алгоритм Хаффмана.
Двоичные кодовые деревья допускают интерпретацию в рамках теории поиска. Каждой вершине при этом сопоставляется вопрос, ответить на который можно либо "да", либо "нет". Утвердительному и отрицательному ответу соответствуют два ребра, выходящие из вершины. "Опрос" завершается, когда удается установить то, что требовалось.
Таким образом, если кому-то понадобится взять интервью у различных людей, и ответ на очередной вопрос будет зависеть от заранее неизвестного ответа на предыдущий вопрос, то план такого интервью можно представить в виде двоичного дерева.
Химия
Еще А. Кэли рассмотрел задачу о возможных структурах насыщенных (или предельных) углеводородов, молекулы которых задаются формулой:
CnH2n+2
Все атомы углеводорода четырехвалентны, все атомы водорода одновалентны. Молекула каждого предельного углеводорода представляет собой дерево. Если удалить все атомы водорода, то оставшиеся атомы углеводорода также будут образовывать дерево, каждая вершина которого имеет степень не выше 4. Следовательно, число возможных структур предельных углеводородов, т. е. число гомологов данного вещества, равно числу деревьев с вершинами степени не больше четырех.
Таким образом, подсчет числа гомологов предельных углеводородов также приводит к задаче о перечислении деревьев определенного типа. Эту задачу и ее обобщения рассмотрел Д. Пойа.
Электротехника.
Еще недавно одной из наиболее сложных и утомительных задач для радиолюбителей было конструирование печатных схем.
Печатной схемой называют пластинку из какого-либо диэлектрика (изолирующего материала), на которой в виде металлических полосок вытравлены дорожки. Пересекаться дорожки могут только в определенных точках, куда устанавливаются необходимые элементы (диоды, триоды, резисторы и другие), их пересечение в других местах вызовет замыкание электрической цепи.
В ходе решения этой задачи необходимо вычертить плоский граф, с вершинами в указанных точках.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
a)
Матрица смежности:
Матрица инцидентности:
Матрица расстояний:
Эксцентриситеты вершин:
e(x1)=2
e(x2)=2
e(x3)=2
e(x4)=2
e(x5)=1
e(x6)=2
Передаточные числа вершин:
p(x1)=6
p(x2)=7
p(x3)=6
p(x4)=7
p(x5)=5
p(x6)=7
Диаметр графа равен 2, радиус – 1. Центр графа находится в вершине X5. Медианы графа: x2, x4, x6.
б)
Матрица смежности:
Матрица инцидентности:
Матрица расстояний:
Эксцентриситеты вершин:
e(x1)=2
e(x2)=2
e(x3)=2
e(x4)=1
e(x5)=2
Передаточные числа вершин:
p(x1)=5
p(x2)=5
p(x3)=5
p(x4)=4
p(x5)=5
Диаметр графа равен 2, радиус – 1. Центр графа находится в вершине X4. Медианы графа: x1, x2, x3, x5.
ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ
usescrt;
var
A:array[1..100,1..100] of byte;
E,P:array[1..100] of byte;
n,i,j,m,d,r:byte;
begin
clrscr;
writeln('Enter quantity of tops the column and his matrix of a distance.');
readln(n);
writeln;
for j:=1 to n do
for i:=1 to n do
readln(A[i,j]);
clrscr;
for j:=1 to n do
for i:=1 to n do
if i=n
then writeln(A[i,j])
else write(A[i,j],' ');
writeln;
writeln;
for j:=1 to n do
begin
m:=A[1,j];
for i:=1 to n do
begin
if m<A[i,j]
then m:=A[i,j];
end;
E[j]:=m;
end;
for j:=1 to n do
for i:=1 to n do
P[j]:=P[j]+A[i,j];
d:=E[1];
for i:=1 to n do
if d<E[i]
then d:=E[i];
r:=E[1];
for i:=1 to n do
if r>E[i]
then r:=E[i];
for j:=1 to n do
writeln('e(x',j,')=',E[j]);
writeln;
for j:=1 to n do
writeln('p(x',j,')=',P[j]);
writeln;
writeln('d(G)=',d);
writeln('r(G)=',r);
writeln;
writeln('The centers the column:');
for i:=1 to n do
if r=E[i]
then write('x',i,' ');
writeln;
writeln('Medians the column:');
m:=P[1];
for i:=1 to n do
if m<P[i]
then m:=P[i];
for i:=1 to n do
if m=P[i]
then write('x',i,' ');
readkey;
end.