Смекни!
smekni.com

Теоремы тригонометрии (стр. 2 из 3)

Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin и cos были впервые введены в 1739 г. швейцарским математиком Иоганном Бернуллив письме к Леонарду Эйлеру, который и стал употреблять их в своих математических работах. Эйлер ввел также обозначения для функций угла х: tg x, ctg x, sec x, cosec x.

Синус, косинус, тангенс, котангенс.

· Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе (AB/OB).

· Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе (ОА/OB).

· Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету (AB/OA).

· Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету (ОА/AB).

Значения тригонометрических функций.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов.

0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2) 360° (2π)
N/A
N/A
N/A
N/A
N/A

Значения косинуса и синуса на окружности.


Свойства тригонометрических функций

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или основному тригонометрическому тождеству, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, имеем далее:

Формулы приведения:

sin(90° - α) = cosα

cos(90° - α) = sinα

sin(180° - α) = sinα

cos(180° - α) = - cosα

Чётность и нечетность функций.

Чётная функция- функция y = f(x) называется чётной, если область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство

f(-x) = f(x)

Нечётная функция- функция, область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство

f(-x) = -f(x)

Косинус — единственная чётная функция. Остальные три функции — нечётные, то есть:

Теоремы

Теорема о площади треугольника:

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.S = ½ ab sin C

Дано:

АВС, АВ= с, ВС = a, СА = b, h-высота

Доказать:

S = ½ absinC

Доказательство:

Введём систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S = ½ ah, где hвысота треугольника. Но hравна ординате точки А, т.е. h= bsinC (т.к. sinC = h/b) => S = ½ absinC

Ч.т.д.

Теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC

Дано:

∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b

Доказать:

a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC

Доказательство:

По теореме о площади треугольника S= ½ absinC, S = ½ bcsinA, S= ½ acsinB.

Из первых двух равенств получаем ½ absinC = ½ bcsinA,

½ ab sinC = ½ bc sinA │ : ½ b

a sinC = c sinA │: sinA sinC

a/sinA = c/sinC

Точно также из второго и третьего равенства получаем

½ bc sinA = ½ ac sinB │: ½ c

b sinA = a sinB │: sinA sinB

b/sinB = a/sinA

Таккакa/sinA = c/sinC иb/sinB = a/sinA, тоa/sinA= b/sinB= c/sinC.

Ч.т.д.

Замечание:

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего

угла равно диаметру описанной окружности.

a/sinA= b/sinB= c/sinC= 2R

Дано:

R – радиус описанной окружности, ВС = a, BA1 - диаметр

Доказать:

BC/sinA = 2R (BC=2RsinA)

Доказательство:

Проведем диаметр ВА1. Рассмотрим ∆А1ВС, ∟С - прямоугольный => ВС=ВА1×sinA1. Если т.А1 лежит на дуге ВАС, то ∟А1=∟А, если на дуге BDC, то ∟A1= 180° - ∟A. И в том, и в другом случае sinA1 = sinA => BC= BA1*sinA, BC= 2RsinAили BC/sinA= 2R.

Ч.т.д.

Теорема косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.a2 = b2 + c2 − 2bc cosα.

Дано:
∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b

Доказать:

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

Доказательство:

Введем систему координат с началом в точке А. Точка В имеет координаты (с; 0), а точка С(bcosA; bsinA). По формуле расстояния между двумя точками d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2получаем:

ВС2 = a2 = (b cosA – c)2 +(bsinА- 0) 2,

a 2= b2cos2A - 2bc cosA + c2 + b2 sin2A,

a2= b2 (cos2A + sin2A) + c2- 2bc cosA,

a2= b2+ c2 – 2bc cosA.

Ч.т.д.

Обобщенная теорема Пифагора.

Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в ∆АВС ∟А прямой, то cosA = cos 90° = 0 и по a2 = b2 + c2 − 2bccosα получаем:

a2 = b2 + c2 ,

т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета.


Задачи

№1

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Дано: