Теоремы тригонометрии (стр. 3 из 3)

a= 7 см, b = 23cм, ∟C = 130°

Найти: с, ∟А, ∟В

Решение:

c² = a² + b² − 2bc cosC

с = √49 + 529 - 2×7×23×(-0,643)»28

cos A = b² + c² − a² / 2bc

cos A = (529 + 784 – 49) / 2 ×23× 28 » 0,981

∟А» 11°

∟В = 180° - (∟А+∟C) =180°- (11°+130°) » 39°

Ответ:c»28, ∟А» 11°, ∟B » 39°.

№2

Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

Дано:

а=20 см, ∟А=75°, ∟В=60°

Найти:∟C, b, c

Решение:

∟C= 180-(60°+75°) = 45°

a/sin A = b/sin B = c/sin C

b = a× (sin B/ sin A)

b» 20×(0,866/ 0,966)»17,9

c = a× (sin C/ sin A)

c = 20×(0,7/ 0,966)»14,6

Ответ:∟C=45°, b» 17,9 см, c»14,6 см.

№3

Решение треугольника по трем сторонам.

Дано:

а=7 см, b=2 см, с=8 см

Найти:∟А, ∟В, ∟С.

Решение:

cos A = (4 + 64 – 49) / 2 × 2 × 8 » 0,981

∟А» 54°

cos B = (49 + 64 – 4) / 2 × 7 × 8 » 0,973

∟В»13°

∟С = 180° - (54° + 13°) = 113°

Ответ:∟А» 54°, ∟В»13°, ∟С = 113°

№4

Измерение высоты предмета.

Предположим, что требуется определить высоту АН какого – то предмета. Для этого отметим точку В на определённом расстоянии а от основания Н предмета и измерим ∟АВН=a. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета: АН = а tg a.

Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: ∟АВН =a, ∟АСВ = b, ∟ВАС = a –b.Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС; по теореме синусов находим АВ: АВ = asinb/ sin (a –b). Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:

АН = АВ sin a= a sina sinb / sin (a –b).

№5

Измерение расстояния до недоступной точки (измерение ширины реки).

На местности выберем точку В и измерим длину с отрезка АВ. Затем измерим, например с помощью астролябии, углы А и В: ∟А= a и ∟В = b. Эти данные, т.е. с, a и b, позволяют решить ∆АВС и найти искомое расстояние d=AC.

Находим ∟С и sinC: ∟С=180°- a –b, sin C= sin(180°- a –b) = sin(a+b).

Так как d/sinb = c/sinC, то d = csinb/ sin(a+b).

III Заключение.

В данном реферате были выполнены все поставленные задачи: узнали более подробную информацию о тригонометрических функциях; привели доказательства теорем косинусов и синусов, а также теоремы о площади треугольников, применили их в решении задач на нахождение неизвестных элементов треугольника, узнали, как используются данные теоремы при проведении измерительных работ на местности. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ.

Список литературы.

1. Анатасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия 7-9 класс – 12-е изд.-М.: Просвещение, 2002г., стр.157-159, 256-261

2. Балк М.Б., Балк Г.Д. «Математика после уроков», М., Просвещение, 1971., стр.56-57

3. Берманд А. Ф. Тригонометрия, 1967г., стр.4-6

4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 9 класс – 13-е изд.-М.: Просвещение, 2006г., стр.112-114

5. Понарин Я.П. Элементарная геометрия. МЦНМО, 2004., стр. 84-85.

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №4 г.Балабаново»

Реферат

на тему:

«Решение треугольников»

Выполнила

ученица 9 б класса

Матвеева Анастасия

учитель

Заречкова Л.И.

г.Балабаново 2010