Ряды (стр. 3 из 3)

2)bi – корень, y*=x(ACosbx+BSinbx).

РЯДЫ

Числовые ряды. Основные определения.

Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U1, U2...Un,... Выражение U1+U2+...+Un+... наз-ся числовым рядом,

U1, U2...Un – члены ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся

n-ой частичной суммой ряда: Sn= U1+U2+...+Un.

Если сущ-ет конечный предел limn®¥Sn=S, то этот предел наз суммой ряда.

Если предел limn®¥Sn равен ¥ или не сущ-ет, то говорят , что ряд расходится.

Если сущ-ет предел limn®¥Sn, то ряд сходится.

Некоторые очевидные свойства числовых рядов:

1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Док-во: Sn – сумма n первых членов ряда, Ck – сумма k отброшенных членов, Dn-k – сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck. Тогда имеем: Sn=Ck+Dn-k, где Ck – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения следует, что если сущ-ет limDn-k, то сущ-ет и limSn; если сущ-ет limSn, то сущ-ет limDn-k, а это доказ-ет справедливость теоремы.

2)Теорема 2. Если ряд a1+a2+...(1) сходится, и его сумма равна S, то ряд ca1+ca2+...(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS.

Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через Sn, а ряда (2) – через Dn. Тогда Dn=ca1+...+can=c(a1+...+an)=cSn. Отсюда ясно, что передел n-ой частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к.

lim Dn=lim(cSn)=climSn=cS. ч.т.д.

3)Теорема 3. Если ряды a1+a2+...(5) и b1+b2+...(6) сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1и S2, то ряды (a1+b1)+(a2+b2)+...(7) и (a1–b1)+(a2–b2)+...(8) также сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1+S2 и

S1–S2.

Док-во: док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную сумму через Dn, а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через S1n и S2n, получим: Dn=(a1+b1)+...+(an+bn)=(a1+...+an)+(b1+...+bn)=S1n+S2n. Переходя к в этом равенстве к пределу при n®¥:, получим limDn=lim(S1n+S2n)= limS1n+limS2n=S1n+S2n.

Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S1n+S2n.

4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limUn=0 n®¥.

Док-во: пусть ряд U1+U2+...+Un+... сходится, т.е. limSn=Sn®¥, тогда имеет место равенство limSn-1=S.

limSn–limSn-1=0, lim(Sn–Sn-1)=0. Но Sn–Sn-1=Un следов-но limUn=0 ч.т.д.

Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов.

1)Признак сравнения. Пусть дан ряд U1+U2+...+Un+...(1), S1n; V1+V2+...+Vn+...(2) S2n; Известно,что Vn³Un при n³N0.

если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится;

если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.

Док-во: Из сходимости ряда (2) следует, что $limS2n=S. S1n=U1+U2+...+UN0+UN0+1+...+Un=SN0+VN0+1+...+Vn. limS1n=lim(SN0+Dn-N0)=SN0+D. S1n – возраст. послед-ть, ограниченная числом SN0+D => $limS1n=Sn1.

2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limUn/Vn=L, но L¹0,¥ при n®¥, то ряды ведут себя одинаково.

3) Признак Даламбера.Если $lim(Un+1/Un)=L(2) при n®¥, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2) расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотрим число q, удовл. соотнош L<q<1. Из определения предела и соотношения (2) следует, что для всех n, n³N, будет иметь место нер-во (Un+1/Un)<q (2’). Действительно, т.к. величина Un+1/Unстремится к пределу L, то разность м/у этой величиной и числом L м.б.сделана (начиная с некоторого номера N) по абсолютному значению меньше любого положит числа, в частности, меньше, чем q–L, т.е.

|Un+1/Un – L|<q–L. из последнего нер-ва и следует нер-во (2’). Записывая нер-во (2’) для различных значений n, начиная с номера N, получим UN+1<qUN,

UN+2<qUN+1< q2UN

Рассмотрим теперь два ряда:

U1+U2+...+UN+Un+1+... (1)

UN+qUN+q2UN+... (1’). Ряд (1’) есть геом прогрессия с положит знаменат q<1. Следоват-но, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с UN+1, меньше членов ряда (1’), следоват-но, ряд (1) сходится. Ч.т.д. 2) Пусть L>1. тогда из равенства lim(Un+1/Un)=L следует, что, начиная с некот. N, т.е. для n³N, будет иметь место нер-во (Un+1/Un)>1, или Un+1>Un для всех n³N. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится.

4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limnÖUn=L, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1.

Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L<q<1. Начиная с некот n=N, будет иметь место соотношение

|nÖUn–L|<q–L; осюда следует, что nÖUn<q или Un<qn для всех n³N. Рассмотрим теперь два ряда: U1+U2+...+UN+UN+1+... (1) и qN+qN+1+qN+2+... (1’). Ряд (1’) сходится, т.к. его члены обр-ют убыв. геом прогр. Члены ряда (1), начиная с UN, меньше членов ряда (1’). Значит, ряд (1) сходится. 2) Пусть L>1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь: nÖUn>1 или Un>1. но если все члены рассматр ряда, начиная с UN, больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.

5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ¥ån=1Un, где члены ряда убывают Un>Un+1>0. Есть фун f(x)>0, хÎ[1;¥] непрерывная и убывающая и такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=Un.

Если не собственный интеграл ¥ò1f(x)dx – сходиться, то ряд сходится. Если не собственный интеграл ¥ò1f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды.

Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны.

Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U1>U2>U3… и предел его общего члена при n®¥ равен 0

(Lim n®¥ Un=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: U1³S.

Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m:

S2m=(U1-U2)+(U3-U4)+…+(U2m-1-U2m). Эта последовательность возрастающая и ограниченная. На основании признака существования придела последовательность S2m имеет предел Limm®¥S2m=S. Переходя к пределу в неравенстве S2m<U1 при m®¥, получим, что U1³S. Рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов при n= 2m+1. Очевидно, что S2m+1=S2m+A2m+1; Поэтому учитывая необходимый признак сходимости ряда, Limm®¥S2m+1=

=Limm®¥S2m+ Limm®¥ А2m+1=S+0=S. Итак, при любом n (четном и нечетном) Limn®¥Sn=S, т.е. ряд сходится.

Знакопеременные ряды.

Пусть U1+U2+U3….+Un+ знакопеременный ряд (*), в котором любой его член Un может быть как положительным, так и отрицательным.

Т.(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда): Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (*) и если ряд ¥ån=1½Un½; |U1|+|U2|+…+|Un|+…(1), сходится и наз абс. сходящимся. Обратное утверж не справедливо.

Д: Обозначим Sn+ и Sn- суммы абсолютных величин членов данного ряда (*), входящих со знаком плюс и минус. Тогда частичная сумма данного ряда Sn1=Sn+-Sn- , а ряда составленного из абсолютных величин его членов Sn2= Sn++Sn- . По условию ряд (1) сходится, значит сущ-т конечный предел Limn®¥Sn2=S. Последовательности Sn+ и Sn- являются возрастающими и ограниченными (Sn+≤ SSn- ≤ S ), значит существуют пределы

Limn®¥Sn+ и Limn®¥Sn-, и соответственно предел частичной суммы данного ряда

Limn®¥Sn1=Limn®¥Sn+ -Limn®¥Sn- , т.е. ряд (*) сходится.·

Если ряд |U1|+|U2|+…+|Un|+…сходиться, то ряд U1+U2+U3….+Un+ наз абс. сходящимся.

Если ряд U1+U2+U3….+Un+ сходиться, а ряд |U1|+|U2|+…+|Un|+…расходиться, то ряд U1+U2+U3….+Un+ наз усл. сходящимся.

Св-ва абс сход рядов: Если ряд U1+U2+U3….+Un+ абс сходиться, то на сходимость не влияет перестановка членов ряда и группировка.

Степенные ряды.

C0+C1X+C2X2+…+CnXn..-степенной ряд (*)

Св-ва: 1)Т. Абеля: 1)Если степенной ряд сходится при значении X=X0≠0, то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях Х таких что |Х|<|X0|, 2)Если степенной ряд расходится при Х=Х1, то он расходится при всех значениях Х таких что |Х|>|Х1|.

Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х0≠0, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости Limn®¥Un=Limn®¥CnX0n=0. Значит последовательность |CnX0n| Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство |CnX0n|<M. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величинчленов ряда(*)

|С0|+ |C1X0||Х/X0|+…+ |CnX0n||X/X0|n+…(1). Члены ряда (1) меньше соответствующих членов ряда М+М|Х/X0|+…+М|X/X0|n+… представляющего геометрический ряд, к-й сходится, когда его знаменатель q=|X/X0|<1, т.е. при|X|<|X0|, на основании признака сравнения ряд (*) сходится. 2)Предположим противное, т.е. при|X|>|X1| ряд (*) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходится и в точке Х1 (т.к. |X|>|X1|), что противоречит условию.·

Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R≥0, что при │Х│<R ряд сходится, а при │Х│>R – расходится. Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (-R;R)-интервала сходимости степенного ряда.

2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости(-R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а следовательно степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать на этом отрезке.

4) Степенные ряды вида а0+а1х+а2х2+…+аnх2+…+аn+1хn+1+… и

а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+…+аn(х-х0)2+… сходяться равномерно.

5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.

Функциональные ряды

Ряд U1+U2+..+Un+.. называется функциональным, если его члены являются функциями от Х. Рассмотрим функциональный ряд U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+...(1) Совокупность тех значений Х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.

Обозначим через Sn(Х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=Sn(x)+rn(x), где rn(x) есть сумма ряда Un+1(x)+Un+2(x) +…, т.е. rn(x)= Un+1(x)+Un+2(x) +… В этом случае величина rn(x) называется остатком ряда (1). Для всех значений Х в области сходимости ряда имеет место соотношение Limn→∞rn(x)= Limn→∞[S(x)-Sn(x)]=0, т.е. остаток rn(x) сходящегося ряда стремится к нулю при n→∞.

Функциональный ряд U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+.. (1) называется мажорируемым в нек-й области изменения Х, если существует такой сходящийся числовой ряд а1+а2+а3+…+аn..(2) с положительными членами, что для всех значений Х из данной области выполняются соотношения │U1(x)│≤a1,…,│Un(x)│≤an ,… Иначе, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена нек-го сход. ряда с полож. членами.

Ряд Тейлор.

Для ф-и F(x) имеющей все производные до (n-1) порядка включительно, в окрестности точки х=а справедлива формула Тейлора: f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+f¢¢(a)[(x-a)2/2!]+…

…+fn(a)[(x-a)n/n!]+Rn(x), (1) где остаточный член Rn(х)={[(x-a)n+1]/[(n+1)!]}f(n+1)[a+q(x-a)], где 0<q<1. Для того, чтобы ряд сходился к ф-и, необходимо и достаточно, чтобы при n®¥ остаток ряда стремился к 0, т.е. Rn(x)®o. Переходя в формуле (1) к пределу при n®¥, получим справа бесконечный ряд, котороый наз рядом Тейлора:

f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+…+fn(a)[(x-a)n/n!]+…

Если в ряде Тейлора предположим а=0, то получим ряд Маклорена: f(x)=f(0)+f¢(0)x+f¢¢(0)[x2/2!]+…

…+fn(0)[xn/n!]+….

Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена:

ex=1+x+x2/2!+…+xn/n!+… (-¥;¥)

sinX=x-x3/3!+x5/5!+…+(-1)n-1[X2n-1]/(2n-1)!+… (-¥;¥)

cosX=1-x2/2!+x4/4!-…+[(-1)nX2n]/(2n)!+… (-¥;¥)

(1+x)m=1+mx+[m(m-1)x2]/2!+[m(m-1)*

*(m-2)x3]/3!+[m(m-1)(m-n+1)xn]/n!+… (-1;1)

ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-..+[(-1)nxn+1]/(n+1)+.. (-1;1]

1/(1-x)=1+x+x2+…+xn+..

1/(1+X2)=1-x2+x4-x6+…

arctgX=x-x3/3+x5/5-x7/7+…+[(-1)n+1x2n-1]/2n-1+…