Изучение методов интерполяции и аппроксимации (стр. 2 из 2)
Квадратичная интерполяция
В качестве интерполяционной функции на отрезке [хi-1, xi+1] принимается квадратный трехчлен. Такую интерполяцию называют также параболической.
Уравнение квадратного трехчлена
y = aix2 + bix + ci , xi-1 
xi xi+1 (2)
содержит три неизвестных коэффициента ai , bi , ci, для определения которых необходимы три уравнения. Ими служат условия прохождения параболы (2) через три точки ( xi-1, yi-1),
(xi, yi), (xi+1, yi+1). Эти условия можно записать в виде
yi-1 = aix2i-1 + bixi-1 + ci
yi = aix2i + bixi + ci (3)
yi+1 = aix2i+1 + bixi+1 + ci
Данная система уравнений решается методом Крамера.
Определители:
Решение:
Алгоритм нахождения приближенного значения функции с помощью квадратичной интерполяции можно записать в виде структурограммы, как и для случая линейной интерполяции. Вместо формулы (1) нужно использовать (2) с учетом решения системы линейных уравнений (3). Интерполяция для любой точки x є [xo, xn] приводится по трем ближайшим к ней узлам.
Данный алгоритм представлен на рисунке
 |
 |
Да
 | |||
 | |||
 | |||
Program interpol2;
Const N=3;
Var x: array [1..N] of real;
y: array [1..N] of real;
a, b, c, xр, yр, deltaA, deltaB, deltaC, delta : real;
i: integer;
begin
for i:=1 to N do
begin{ввод данных через массивы}
writeln (‘x[‘,I,’]=’);
readln (x[i]);
writeln (‘y[‘,I,’]=’);
readln (y[i]);
end;
write (‘vvedite x’); {вводпромежуточногозначения}
readln (xр);
for i:=2 to N do
if (x[i-1]<=xр) and (xр<=x[i-1]) then
begin{вычисления}
delta:= x[i-1]*x[i-1]*x[i] – x[i-1]*x[i-1]*x[i+1]+ x[i-1]*x[i+1]*x[i+1] – x[i-1]*x[i]*x[i] – x[i+1]*x[i+1]*x[i]+ x[i+1]*x[i]*x[i];
deltaA:= x[i+1]*y[i]– x[i-1]*y[i] +y[i-1]*x[i]-x[i+1]*y[i-1] – y[i+1]*x[i]+x[i-1]*y[i+1];
deltaB:=x[i-1]*x[i-1]*y[i] – x[i+1]*x[i+1]*y[i]-
y[i-1]*x[i]*x[i] + y[i+1]*x[i]*x[i] – x[i-1]*x[i-1]*y[i+1] + x[i+1]*x[i+1]*y[i-1];
deltaC:= y[i+1]*x[i-1]*x[i-1]*x[i] – y[i]*x[i-1]*x[i-1]*x[i+1] + y[i]*x[i-1]*x[i+1]*x[i+1]- y[i+1]*x[i-1]*x[i]*x[i] –y[i-1]*x[i+1]*x[i+1]*x[i] + y[i-1]*x[i+1]*x[i]*x[i];
a:= delta/deltaA;
b:=delta/deltaB;
c:= delta/ deltaC;
yр:= a*xр*xр + b*xр +c;
end;
writeln (‘y=’, yр); {вывод искомого значения}
readln;
end.
Пример. Найти приближенное значение функции y = f (x) при x = 2.5, если известна следующая таблица её значений:
| x | 2 | 3 | 4 |
| y | 2 | 4 | 7 |
Найдем приближенное значение функции с помощью формулы квадратичной интерполяции (2) . Составим систему уравнений (3). С учетом ближайших к точке x = 2.5 узлов xi-1 = 2 , xi = 3, xi+1 = 4. Соответственно yi-1 = 2 , yi = 4yi+1 = 7. Система (3) запишется в виде
22ai + 2bi+ ci= 2;
32ai + 3bi + ci = 4
42ai + 4bi+ ci= 7.
 | |
4 2 1
9 3 1 = 4٠3-4٠4+2٠16 -2٠9 – 16٠3+ 4٠9= -216 4 1
| | |
2 2 1
4 3 1 = 2٠3 -2٠4 +2٠3 – 4٠2 - 7٠3 +2٠7= -17 4 1
 | |
4 2 1
9 4 1 = 4٠4- 16٠4 -2٠9 + 7٠9 - 4٠7+16٠2= 116 7 1
4 2 2 
9 3 4 =7٠4٠3 – 4٠4٠4 + 4٠2٠16 – 7٠2٠9 – 2٠16٠3 + 2٠4٠9= -216 4 7
; 
Решая эту систему, находимai =0.5 , bi = -0.5, ci = 1. Искомое значение функции
y 
(2.5)2٠0.5 + 2.5٠(-0.5) + 1 2.875.
На рисунке 1 показан вид окна программы при вводе исходных данных
Рис.1
На рисунке 2 представлен вид окна программы после вывода результатов
Рис.2
Исполнимый модуль программы находится в файле с именем interpol2.exe
Инструкция по работе с программами
Исполнимые модули программ находятся в файле с именами interpol.exe и interpol2.exe, запускаются на выполнение в операционной системе ее средствами.
После запуска программы пользователь должен ввести исходные данные, как это показано на рисунке 1 (см. стр.8, 14) После ввода исходных данных программа производит вычисления и выводит результат на экран в том же окне, что и исходные данные, как это показано на рисунке 2(см. стр.9,15). Чтобы завершить работу программы, пользователь должен нажать любую клавишу.
Составленные программы решают задачу интерполирования таблично заданной функции с произвольным расположением узлов. Как показывает анализ результатов, вычисления, производимые программами, верны.
Заключение
В данной работе была изучена и проанализирована справочная литература, вследствие чего были выявлены два наиболее простых и удобных вида интерполяции – линейная и квадратичная; созданы программы в системе программирования Borland Turbo Pascal 7.0 для вычисления значений функции f(x) и разработан быстрый (экономичный) алгоритм решения этой функции, предоставленный в виде блок-схем.
Список использованных источников
1. Калиткин Н.Н.. Численные методы. – М.: Наука, 1982.
2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики – М.: Наука, 1977.
3. Носач В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров.. М.: Бином, 1994
4. Самарский А.А. Численные методы. – М.: Наука, 1989.