Прикладная математика 2 (стр. 8 из 10)
и сотрудничества
Теория игр: совокупность математических методов, анализа и оценки поведения в конфликтных ситуациях, когда сталкиваются интересы двух или более сторон, преследующие различные, иногда противоположные цели. Противоречащие друг другу интересы наблюдаются в области экономики, военном деле, спорте, иногда противоречат интересы различных ступеней иерархии в СУ. Теория игр представляет собой математическую теорию конфликтных ситуаций. Ее цель-выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта.
Постановка задачи:
Рассмотрим матричную игру двух лиц с нулевой суммой.
Задана матрица:
Участвуют 2 игрока. 1-ый выбирает номер строки, а 2-ой независимо от 1-го выбирает номер столбца. Если 1-ый загадал 2-ую строку, а второй – 2-ой столбец, то выигрыш второго составляет 8 рублей.
Вначале проведем анализ на доминирование. Так как строки выбирает первый игрок, то мы исключаем из платежной матрицы доминируемые строки. Первая строка доминирует третью. В результате исключения третьей строки получаем:
Первый и четвертый столбец равнозначны. Исключаем четвертый, у нас получается платежная матрица, которую упростить уже невозможно:
Далее проведем анализ игры на седловую точку. Найдем минимумы по строкам
и максимумы по столбцам 
: 
Нижняя цена игры будет равна:
верхняя цена игры равна: 
.Поскольку
, то решения игры в чистых стратегиях нет. Будем искать решение в смешанных стратегиях. Чтобы сделать все элементы платежной матрицы положительными, прибавим к каждому ее элементу константу, равную 10, при этом решение игры не изменится, а цена игры 
возрастет на 10 и будет больше нуля. Матрица игры примет следующий вид: 
Решение игры сводится к нахождению решения симметричной пары взаимно двойственных задач линейного программирования. Пусть
- стратегии игроков. Найдем сначала 
.Проигрыш Второго игрока будет не больше, чем цена игры
: 
Разделим каждое из неравенств на
и введем обозначения 
, получим: 
Поскольку
, то переменные x1, x2, x3, x4 удовлетворяют условию: 
, но v есть проигрыш второго игрока, который он стремится сделать минимальным. Следовательно, величина
должна быть максимальна. Таким образом, имеем следующую задачу линейного программирования:Найти вектор
, который обеспечивает максимум целевой функции 
, при следующих линейных ограничениях: Решение:
Найдем ее оптимальное решение симплексным методом.
Итак,
, при Сначала приведем эту задачу к основной задаче линейного программирования:
Превратим неравенства в равенства, ля этого добавим к каждому неравенству дополнительные неотрицательные неизвестные x5, x6, x7. Вспомогательная задача будет иметь вид:
, при ограничениях: 
Откуда:
;Составляем симплексную таблицу:
| Ć | Б | Н | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 | Пояснения |
| 0 | X5 | 1 | 10 | 5 | 13 | 9 | 1 | 0 | 0 | max(Dj>0)= 31 min(α)=1/17, x3 в базис, x6 из базиса |
| 0 | X6 | 1 | 14 | 2 | 17 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| 0 | X7 | 1 | 4 | 12 | 1 | 15 | 0 | 0 | 1 | |
| 3-S | 28 | 19 | 31 | 13 | 0 | 0 | 0 | |||
| 0 | X5 | 4/17 | -12/17 | 59/17 | 0 | 9 | 1 | 0 | max(Dj>0)= 24min(α)= | |
| -1 | X3 | 1/17 | 14/17 | 2/17 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||
| 0 | X7 | 16/17 | 54/17 | 202/17 | 0 | 15 | 0 | 1 | ||
| 20/17 -S | 42/17 | 261/17 | 0 | 24 | 0 | 0 | ||||
| -1 | X4 | 4/153 | -12/153 | 59/153 | 0 | 1 | 0 | max(Dj>0)= 933/153 min(α)=4/59, x2 в базис, x4 - из | ||
| -1 | X3 | 1/17 | 14/17 | 2/17 | 1 | 0 | 0 | |||
| 0 | X7 | 84/153 | 666/153 | 933/153 | 0 | 0 | 1 | |||
| 84/153-S | 666/153 | 933/153 | 0 | 0 | 0 | |||||
| -1 | X2 | 4/59 | -12/59 | 1 | 0 | 153/59 | 0 | max(Dj>0)= 330/59min(α)=8/330, x1 в базис, x7 - из | ||
| -1 | X3 | 3/59 | 50/59 | 0 | 1 | -18/59 | 0 | |||
| 0 | X7 | 8/59 | 330/59 | 0 | 0 | -933/59 | 1 | |||
| 8/59-S | 330/59 | 0 | 0 | -933/59 | 0 | |||||
| -1 | X2 | 24/330 | 0 | 1 | 0 | 666/330 |  | |||
| -1 | X3 | 10/330 | 0 | 0 | 1 | 690/330 | ||||
| -1 | X1 | 8/330 | 1 | 0 | 0 | -933/330 | ||||
| 0-S | 0 | 0 | 0 | 0 |
,x4 в базис, x5 - из 
;Вернемся теперь к решению основной задачи, в целевую функцию входят решения:
