Дослідження проблеми тригонометричних рівнянь (стр. 10 из 12)

Аналогічно вирішуються нерівності

, , і т.п.

Приклад Вирішимо нерівність

.

Рішення. Розглянемо графік функції

і виберемо із проміжку

на осі значення аргументу , яким відповідають крапки графіка, що лежать вище осі . Таким проміжком є інтервал . З огляду на періодичність функції всі рішення нерівності можна записати так:

Відповідь.

Приклад Вирішите нерівність

.

Рішення. Намалюємо графік функції

. Знайдемо крапку перетинання цього графіка з горизонтальної прямої .

Це крапка з абсцисою

. За графіком видно, що для всіх графік функції лежить нижче прямій . Отже, ці й становлять:

Відповідь.

ВІДБІР КОРНІВ

Проблема відбору корнів, відсівання зайвих корнів при рішенні тригонометричних рівнянь досить специфічна й звичайно виявляється більше складної, чим це мало місце для рівнянь алгебраїчних. Приведемо рішення рівнянь, що ілюструють типові випадки появи сторонніх корнів і методи <<боротьби>> з ними.

Приклад Знайти найближчий до числа

корінь рівняння

Рішення

Підставляючи послідовно у формул

замість змінної

виписані вище серії рішень рівнянь, відшукаємо для кожної з них , а потім зрівняємо отримані мінімальні між собою

a)

Ясно, що

досягається при , тобто

б)

.

в)

.

г)

.

.

Виберемо мінімальне із чисел

, . Відразу ясно, що й що . Залишилося зрівняти й . Припустимо, що

Остання нерівність --- вірне, а всі зроблені переходи --- рівносильні. Тому вірно вихідна нерівність. Обґрунтуємо рівносиль переходів (*) і (**) (рівносиль інших переходів треба із загальних властивостей числових нерівностей). У випадку перетворення (*), досить помітити, що числа

й розташований на ділянці монотонного зростання функції . У випадку переходу (**) формула справедлива, тому що

Відповідь.

Приклад Знайти корінь рівняння:

.

Рішення цього рівняння розпадається на два етапи: 1) рішення рівняння, що виходить із даного піднесенням у квадрат обох його частин; 2) відбір тих корінь, які задовольняють умові

. При цьому піклується про умову немає необхідності. Всі значення , що задовольняють зведеному у квадрат рівнянню, цій умові задовольняють.

Перший крок нас приводить до рівняння

, звідки

Тепер треба визначити, при яких

буде

Для цього досить для

розглянути значення , , , тобто <<обійти один раз коло>>, оскільки далі значення косинуса почнуть повторюватися, що вийшли кути будуть відрізнятися від уже розглянутих на величину, кратну