Дослідження проблеми тригонометричних рівнянь (стр. 2 из 12)

і не обов'язково є основним періодом. Наприклад, основний період функцій

і -

а основний період їхнього добутку -

.

Введення допоміжного аргументу

Стандартним шляхом перетворення виражень виду

є

наступний прийом: нехай

- кут, що задається рівностями

Для будь-яких

і такий кут існує. У такий спосіб

Якщо

, або , , в інших випадках

Схема рішення тригонометричних рівнянь

Основна схема, який ми будемо керуватися при рішенні тригонометричних рівнянь наступна:

рішення заданого рівняння зводиться до рішення елементарних рівнянь. Засоби рішення -і- перетворення, розкладання на множники, заміна невідомих. Провідний принцип -і- не втрачати корінь. Це означає, що при переході до наступного рівняння (рівнянням) ми не побоюємося появи зайвих (сторонніх) корнів, а піклуємося лише про те, щоб кожне наступне рівняння нашої "ланцюжка" (або сукупність рівнянь у випадку розгалуження) було наслідком попередні. Одним з можливих методів відбору корнів є перевірка. Відразу помітимо, що у випадку тригонометричних рівнянь труднощі, пов'язані з відбором корнів, з перевіркою, як правило, різко зростають у порівнянні з алгебраїчними рівняннями. Адже перевіряти доводиться серії, що складаються з нескінченного числа членів.

Особливо варто сказати про заміну невідомих при рішенні тригонометричних рівнянь. У більшості випадків після потрібної заміни виходить алгебраїчне рівняння. Більше того, не так уже й рідкі рівняння, які, хоча і є тригонометричними по зовнішньому вигляді, по суті такими не є, оскільки вже після першого кроку -і- заміни змінних -і- перетворюються в алгебраїчні, а повернення до тригонометрії відбувається лише на етапі рішення елементарних тригонометричних рівнянь.

Ще раз нагадаємо: заміну невідомого варто робити з першою нагодою, що вийшла після заміни рівняння необхідно вирішити до кінця, включаючи етап відбору корнів, а потім вернеться до первісного невідомого.

Одна з особливостей тригонометричних рівнянь полягає в тім, що відповідь у багатьох випадках може бути записаний різними способами. Навіть для рішення рівняння

відповідь може бути записаний у такий спосіб:

1) у вигляді двох серій

, ,

2) у стандартній формі що представляє собою об'єднання зазначених вище серій

,

3) оскільки

те відповідь можна записати у вигляд

,

(Надалі наявність параметра

, , або в записі відповіді автоматично означає, що цей параметр приймає всілякі цілочисленні значення. Виключення будуть обмовлятися.)

Очевидно, що трьома перерахованими випадками не вичерпуються всі можливості для запису відповіді розглянутого рівняння (їх нескінченно багато).

Наприклад, при

справедливо рівність

Отже, у двох перших випадках, якщо

, ми можемо замінити

на

Звичайно відповідь записується на підставі пункту 2. Корисно запам'ятати наступну рекомендацію: якщо на рішенні рівняння

робота не закінчується, необхідно ще провести дослідження, відбір корнів, те найбільш зручна форма запису, зазначена в пункті 1. (Аналогічну рекомендацію варто дати й для рівняння .)

Розглянемо приклад.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Найбільш очевидним є наступний шлях. Дане рівняння розпадається на два

і

Вирішуючи кожне з них і поєднуючи отримані відповіді, знайдемо

Інший шлях. Оскільки

,

те, заміняючи

й по формулах зниження ступеня. Після невеликих перетворень одержимо

Звідки

На перший погляд ніяких особливих переваг у другої формули в порівнянні з першої немає. Однак, якщо візьмемо, наприклад,

те виявиться, що

тобто рівняння

має рішення

у той час як перший спосіб нас приводить до відповіді

Побачити" і довести рівність

не так просто.

Відповідь.

Перетворення й об'єднання груп загальних рішень тригонометричних рівнянь

Будемо розглядати арифметичну прогресію, що нескінченно простирається в обидва боки. Члени цієї прогресії можна розбити на дві групи членів, що розташовуються вправо й уліво від деякого члена, називаного центральним або нульовим членом прогресії.

Фіксуючи один зі членів нескінченної прогресії нульовим номером, ми повинні будемо вести подвійну нумерацію для всіх членів, що залишилися: позитивну для членів, розташованих вправо, і негативну для членів, розташованих уліво від нульового.

У загальному випадку, якщо різниця прогресії

, нульовий член , формула для кожного ( -го) члена нескінченної арифметичної прогресії представляє вид:

Перетворення формули для будь-якого члена нескінченної арифметичної прогресії

1. Якщо до нульового члена

додати або відняти різниця прогресії , то від цього прогресія не зміниться, а тільки переміститься нульовий член, тобто зміниться нумерація членів.

2. Якщо коефіцієнт при змінній величині

помножити на , то від цього відбудеться лише перестановка правої й лівої груп членів.