Дослідження проблеми тригонометричних рівнянь (стр. 4 из 12)

Відповідь.

Помноження на деяку тригонометричну функцію

Розглянемо суми виду

Дані суми можна перетворити в добуток, до множив і розділивши їх на

, тоді одержимо

Зазначений прийом може бути використаний при рішенні деяких тригонометричних рівнянь, однак варто мати на увазі, що в результаті можлива поява сторонніх корінь. Приведемо узагальнення даних формул:

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Видно, що множина

є рішенням вихідного рівняння. Тому множення лівої й правої частини рівняння на не приведе до появи зайвих корінь.

Маємо

Відповідь.

;

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. До множимо ліву й праву частини рівняння на

й застосувавши формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму, отримаємо

Це рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь

і , звідки й

Тому що корінь рівняння

не є коріннями рівняння, то з отриманих множин рішень варто виключити

Значить у множині

потрібно виключити .

Відповідь.

і , .

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Перетворимо вираження

Рівняння запишеться у вигляді

Приймаючи

, одержуємо . ,

Отже

Відповідь.

Відомість тригонометричних рівнянь до алгебраїчних

Зведених до квадратних

Якщо рівняння має вигляд

те заміна

приводить його до квадратного, оскільки

( ) і .

Якщо замість доданка

буде , то потрібна заміна буде

Рівняння

зводиться до квадратного рівняння

поданням

як . Легко перевірити, що при яких , не є коріннями рівняння, і, зробивши заміну , рівняння зводиться до квадратного.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Перенесемо

в ліву частину, замінимо її на

, і виразимо через і

Після спрощень одержимо

Розділимо по членне на

, зробимо заміну :

Вертаючись до

, знайдемо

Рівняння, однорідні відносно

,

Розглянемо рівняння виду

де

, , , ..., , --- дійсні числа. У кожному складати^ся лівої частини рівняння ступеня одночленів рівні , тобто сума ступенів синуса й косинуса та сама й дорівнює . Таке рівняння називається однорідним відносно й , а число називається показником однорідності.

Ясно, що якщо

, те рівняння прийме вид:

рішеннями якого є значення

, при яких , тобто числа , . Друге рівняння, записане в дужках також є однорідним, але ступеня на 1 нижче.

Якщо ж

, то ці числа не є коріннями рівняння .

При

одержимо: , і ліва частина рівняння (1) приймає значення .

Отже, при

, і , тому можна розділити обидві частини рівняння на . У результаті одержуємо рівняння: