Дослідження проблеми тригонометричних рівнянь (стр. 6 из 12)
Відповідь.
.Універсальна тригонометрична підстановка
Тригонометричне рівняння виду
де
--- раціональна функція за допомогою формул -- , а так само за допомогою формул -- можна звести до раціонального рівняння щодо аргументів 
, 
, 
, , після чого рівняння може бути зведене до алгебраїчного раціонального рівняння відносно 
за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки
Слід зазначити, що застосування формул може приводити до звуження ОДЗ вихідного рівняння, оскільки
не визначений у крапках 
, тому в таких випадках потрібно перевіряти, чи є кути , коріннями вихідного рівняння.Приклад Вирішити рівняння
Рішення. За умовою задачі
. Застосувавши формули й зробивши заміну , одержимо 
звідки
й, отже, 
.Рівняння виду
Рівняння виду
де
--- багаточлен, вирішуються за допомогою замін невідомих 
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Зробивши заміну й з огляду на, що
, одержимо 
звідки
, 
. 
- сторонній корінь, тому що 
Коріннями рівняння
є 
.НЕСТАНДАРТНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ
Використання обмеженості функцій
У практиці тестування не так вуж рідко зустрічаються рівняння, рішення яких ґрунтується на обмеженості функцій
і . Наприклад:Приклад Вирішити рівняння
.Рішення. Оскільки
, 
те ліва частина не перевершує
й дорівнює , якщо 
Для знаходження значень
, що задовольняють обом рівнянням, надійдемо в такий спосіб. Вирішимо одне з них, потім серед знайдених значень відберемо ті, які задовольняють і іншомуПочнемо із другого:
, 
Тоді
, 
.Зрозуміло, що лише для парних
буде 
.Відповідь.
.Інша ідея реалізується при рішенні наступного рівняння:
Приклад Вирішити рівняння
.Рішення. Скористаємося властивістю показової функції
, 
Склавши по членне ці нерівності будемо мати
Отже ліва частина даного рівняння дорівнює
тоді й тільки тоді, коли виконуються дві рівності 
т. е.
може приймати значення 
, 
, 
, а 
може приймати значення , .Відповідь.
, 
.Приклад Вирішити рівняння
Рішення
, 
. Отже, 
Відповідь.
.Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Позначимо
, тоді з визначення зворотної тригонометричної функції 
маємо 
й 
.Тому що
, те з рівняння треба нерівність 
, тобто 
. Оскільки 
й , те 
й 
. Однак 
і тому .Якщо
й , то 
. Тому що раніше було встановлено, що , те 
.Відповідь.
, .