Дослідження проблеми тригонометричних рівнянь (стр. 8 из 12)

б) Нехай

. Тоді на цій множині вихідне рівняння рівносильне рівнянню

коріннями якого на проміжку

є числа , , , .

в) Нехай

. Тоді на цій множині вихідне рівняння рівносильне рівнянню

Яке на проміжку

рішень не має, тому що , а . На проміжку рівняння так само рішень не має, тому що

, , а

Відповідь.

, , , .

Метод симетрії

Метод симетрії зручно застосовувати, коли у формулюванні завдання присутня вимога одиничності рішення рівняння, нерівності, системи й т.п. або точна вказівка числа рішень. При цьому варто виявити яку-небудь симетрію заданих виражень.

Потрібно також ураховувати різноманіття різних можливих видів симетрії.

Не менш важливим є чітке дотримання логічних етапів у міркуваннях із симетрією.

Звичайно симетрія дозволяє встановити лише необхідні умови, а потім потрібна перевірка їхньої достатності.

Приклад Знайти всі значення параметра

, при яких рівняння

має єдине рішення.

Рішення. Помітимо, що

й --- парні функції, тому ліва частина рівняння є парна функція.

Значить якщо

--- рішення рівняння, тобто також рішення рівняння. Якщо --- єдине рішення рівняння, те, необхідно, .

Відберемо можливі значення

, зажадавши, щоб було коренем рівняння.

Відразу ж відзначимо, що інші значення

не можуть задовольняти умові задачі.

Але поки не відомо, чи всі відібрані

в дійсності задовольняють умові задачі.

Достатність

1)

, рівняння прийме вид .

2)

, рівняння прийме вид:

Очевидно, що

, для всіх і

Отже, останнє рівняння рівносильне системі:

Тим самим, ми довели, що при

, рівняння має єдине рішення.

Відповідь.

.

тригонометричний рівняння комбінований графічний

Рішення з дослідженням функції

Приклад Доведіть, що всі рішення рівняння

і- цілі числа.

Рішення. Основний період вихідного рівняння дорівнює

. Тому спочатку досліджуємо це рівняння на відрізку

Перетворимо рівняння до виду

За допомогою мікрокалькулятора одержуємо

Знаходимо

Якщо

, то з попередніх рівностей одержуємо

Вирішивши отримане рівняння, одержимо

Виконані обчислення представляють можливість припустити, що коріннями рівняння, що належать відрізку

, є , і

Безпосередня перевірка підтверджує цю гіпотезу. Таким чином, доведено, що коріннями рівняння є тільки цілі числа

,

Приклад Вирішите рівняння

Рішення. Знайдемо основний період рівняння. У функції

основний період дорівнює . Основний період функції дорівнює . Найменше загальне кратне чисел і дорівнює . Тому основний період рівняння дорівнює . Нехай .

Очевидно,

є рішенням рівняння. На інтервалі . Функція негативна. Тому інших корінь рівняння варто шукати тільки на інтервалах

і

За допомогою мікрокалькулятора спочатку знайдемо наближені значення корінь рівняння. Для цього становимо таблицю значень функції

на інтервалах

і ; тобто на інтервалах і