На тему: «Умножение и деление многозначных чисел» приходится в 1 учебнике – 18 стр., а во втором – 63 стр..
На первом уроке повторяется ранее изученный материал о действии умножения (связь умножения со сложением одинаковых слагаемых): повторение переместительного и сочетательного свойств умножения, примеры на все арифметические действия , задачи на нахождение целого числа от доли; дан геометрический материал на нахождение площади прямоугольника (с практическим заданием: «начерти и вырежи».
После подготовительной работы переходят к объяснению нового материала – письменное умножение (в столбик) многозначных чисел. Особенностью является то, что примеры как и умножение трехзначных на однозначное выполняются так же и любые многозначные числа на однозначные. Выполняют умножение значения величины на число (переводят в одну величину, затем умножают на число и потом еще раз переводят в два именованных числа). Даны задачи на умножение величины на число; далее задания на повторение: примеры на все действия, работа с геометрическим материалом, что вызывает интерес у детей, способствует развитию их познавательных способностей.
На третьем уроке знакомятся с приемом умножения, когда в записи первого множителя есть нули. Вспоминают правила умножения с числами 1 и 0; выполняют устные упражнения; примеры на закрепление разнообразные. Как и на предыдущих уроках в учебнике даны 2 текстовые задачи и примеры на все действия. На полях учебника дан геометрический материал, который развивает геометрическую зоркость; задание на повторение устной нумерации мн-ых чисел; дан ребус на полях на нахождение неизвестных множителей (1-ого и 2-ого) и произведения.
На четвертом уроке знакомятся с приемом умножения на однозначное число многозначных чисел, оканчивающихся одним или несколькими нулями. Для закрепления даны примеры (№446.) Даны три текстовые задачи на закрепление материала; примеры на деление с остатком ; задание на повторение таблицы единиц времени; задача на смекалку и дан ребус на нахождение неизвестных множителей и произведения.
На пятом уроке знакомятся с решением уравнений на основе знания связей между множителями и произведением. (вводятся уравнения более сложной структуры) Задания на закрепление разнообразные: сложение и вычитание именованных чисел, задачи, примеры на все арифметические действия. Дан геометрический материал на сравнение периметра и площади фигур.
На следующем уроке рассматривается деление на однозначное число.
Идет повторение изученного материала о действии деления, закрепляют умение решать задачи с именованными числами; дано задание на разложение на сумму разрядных слагаемых, а также на сумму удобных слагаемых; на нахождение частного и остатка; устные упражнения. Задания на повторение предполагают не только выполнения действия, но и его проверку (№460). Даны примеры на все действия, задание развивающего характера («Головоломка»).
На седьмом уроке знакомятся с письменным делением на однозначное число.
Примеры на закрепление (№466) выполняют с рассуждением. Дана задача с буквенной символикой, задача на нахождение части от числа; примеры на все действия . Также включен геометрический материал развивающего характера.
На следующем уроке продолжается работа по формированию умения выполнять письменное деление трех- четырехзначных чисел на однозначные, включив случаи, когда число единиц высшего разряда делимого меньше делителя; и т.д.
Анализ учебника показывает, что упражнений для усвоения алгоритма сложения и вычитания достаточно. Все они очень разнообразные, представлены в различных формах. С помощью таких упражнений предупреждаются ошибки, допускаемые учащимися.
Для формирования алгоритма умножения и деления мы нашли недостаточно
упражнений. И считаем, что нужно использовать дополнительные упражнения.
1.3. Теоретические основы формирования алгоритма письменного приема сложения, вычитания, умножения и деления.
Рассмотрим теоретические основы выполнения письменного сложения.
Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей однозначных чисел, и запоминают.
Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком.
Например,
Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.
Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:
341 + 7238 = (3 х102 + 4 х 10 + 1) + (7 х 103 + 2 х 102 + 3 х 10 + 8)
Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок: 3 х 102 + 4 х 10 + 1 + 7 х 103 + 2 х 102 + 3 х 10 + 8
На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые:
7 х 103 + 3 х 102 +2 х 102 +4 х 10 + 3 х 10 + 1 + 8
Согласно свойству ассоциативности произведем группировку:
7 х 103 + ( 3 х 102 + 2 х 102) + ( 4 х 10 + 3 х 10) + (1 + 8)
Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 102 , а во второй - 10 . Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:
7 х 103 + (3 + 2) х 102 + (4 + 3) х 10 + ( 1 + 8 )
Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения:
7 х 103 + 5 х 102 + 7 х 10 + 9
Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.
Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:
- способ записи чисел в десятичной системе счисления;
- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;
- дистрибутивность умножения относительно сложения;
- таблица сложения однозначных чисел.
Не трудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748+436.
Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами:
(7 х 102 + 4 х 10 + 8) + ( 4 х 102 + 3 х 10 + 6)
Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду:
(7 + 4 ) х 102 + (4 + 3) х 10 + (8 + 6)
Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 7+4, 8+6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8+6 представим в виде 1х10+4:
(7 + 4) х 102 + (4 + 3) х 10 + (1 х 10 + 4)
Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду: (7 + 4) х 102 + (4 + 3 + 1) х 10 + 4
Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7+4 в виде
1 х 10 + 1 ,получаем: (1 х 10 + 1) х 102 + 8 х 10 + 4
Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184.
Следовательно, 748+436=1184
Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде. Пусть даны числа:
Х=AП х 10п + Ап-1 х 10п-1 +… + Ао и У = вп х10п + вп-1 х 10п-1 + …+ во ,
т.е. рассмотрим случай, когда количество цифр в записи чисел х и у одинаково.
Х+У = (ап х 10п + ап-1 х 10п-1 + …+ ао) + (вп х 10п + вп-1 х 10п-1 +…+ во) = (ап + вп) х 10п +
+(ап-1 + вп-1) х10р-1 +…+ (ао + во)
-преобразования выполнены на основе свойств ассоциативности сложения, а также дистрибутивности умножения относительно сложения. Сумму (ап+ вп) х 10п +
+(ап-1 + вп-1) х 10п-1 + … + (ао + во) ,
вообще говоря ,нельзя рассматривать как десятичную запись числа х+у, т.к. коэффициенты перед степенями 10 могут быть больше 9. Лишь в случае, когда все суммы ак + вR не превосходят 9, операцию сложения можно считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее R , для которого aR + вR≥ 10.
Если aR + вR≥10 , то из того, что 0 ≤ Ar≤ 9 и 0 ≤ ВR≤ 9 , следует неравенство 0≤≤ aR + вR ≤ 18 и поэтому аR+вR можно представить в виде аR + вR = 10 + сR ,где 0 ≤cR≤ 9.
Но тогда (аR + вR) х 10R = (10 + cR ) x 10R =10R+1cRx 10R
В силу свойств сложения и умножения в (ап + вп) х 10п + … + (ао + во)
Слагаемые (аR+1 +вR+1) x 10R+1 + ( aR+ вR ) x10R
могут быть заменены на (aR+1 + вR+1 +1) x 10R+1 +cRx 10R
После этого рассматриваем коэффициенты ап+вп , ап-1 + вп-1 ,… , аR+2 +вR+1 ,аR+1 +вR+1 +1,
выбираем наименьшее S , при котором коэффициент больше 9, и повторяем описанную процедуру. Через п шагов придем к выражению вида: х + у =
=(сп + 10) х 10п + … + со , где сп≠ 0 , или х+у = 10п+1 + сп х 10п +…+ со ,
и где для всех п выполняется равенство 0 ≤ Сп < 10. Тем самым получена десятичная запись числа х+у .
В случае, когда десятичные записи слагаемых имеют разное количество цифр, надо приписать к числу, имеющему меньшее количество цифр, несколько нулей впереди, уровняв количество цифр в обоих слагаемых. После этого применяется описанный выше процесс сложения. Он позволяет сформулировать в общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления.