1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг за другом.
2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).
3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде
Ао+ во = 1 х 10 + со, где со -однозначное число; записывают со в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.
4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на1 и выполняем сложение 1+0=1
Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».
АЛГОРИТМ ВЫЧИТАНИЯ.
Вычитание однозначного числа в из однозначного числа А, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа С, что В+С=А, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.
Если же числа А и В многозначные и в < a ,то смысл действия вычитания остается тем же , что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.
Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде:
485 – 231 = (4 х 102 + 8 х 10 + 5) – (2 х 102 + 3 х 10 + 1)
Чтобы вычесть из числа 4 х 102 + 8 х 10 + 5 сумму 2 х 102 + 3 х 10 + 1 , достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:
( 4 х 102 + 8 х 10 + 5) – (2 х 102 + 3 х 10 + 1) = (4 х 102 + 8 х 10 + 5)- 2 х 102 – 3 х 10 - 1
Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2х102 вычтем из слагаемого 4х102 , число 3х10 - из слагаемого 8х10 , а число 1 –из слагаемого 5, тогда: (4 х 102 + 8 х 10 + 5) – 2 х 102 – 3 х 10 – 1 = (4 х 102 – 2 х 102 ) + (8 х 10 – 3 х 10)+
+ ( 5 – 1 )
Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4 – 2 )х 102+ (8 – 3) х 10 + +(5—1)
Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4-2, 8-3 и 5-1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2 х 102 + 5 х 10 + 4 ,которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485 – 231 =254 Выражение (4 – 2) х 102+(8-3)х10+(5-1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:
Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:
- способе записи числа в десятичной системе счисления;
- правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;
- свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;
- таблице сложения однозначных чисел.
Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число , меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760 – 326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде: 760 – 326 = (7 х 102 + 6 х 10 + 0) – (3 х 102 + 2 х 10 + 6)
Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде 10 единиц – десятичная система счисления позволяет это сделать – тогда будем иметь выражение:
(7 х 102 + 5 х 10 + 10) – ( 3х 102 + 2 х 10 + 6)
Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (7 – 3) х 102 + (5 – 2) х 10 + (10 – 6) или 4 х 102 + 3 х 10 + 4
Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит,
760 – 326 = 434
Рассмотрим процесс вычитания многозначного числа из многозначного в общем виде:
Пусть даны два числа х = ап х 10п + ап-1 х 10п-1+…+ао и у = вп х 10п + вп-1 х10п-1+…+во
Известно также , что у<x .Используя правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, дистрибутивность умножения относительно вычитания, можно записать, что х – у = (ап – вп) х 10п + (ап-1 – вп-1 ) х 10п-1 + … + (ао – во )
Эта формула задает алгоритм вычитания, но при условии, что для всех R выполняется условие aR≥ вR . Если же это условие не выполняется, то берем наименьшее R , для которого aR < вR . Пусть m - наименьший индекс, такой, что m > R и am≠ 0, а am-1 = … = aR+1=0. Имеет место равенство
Amx 10m = (am – 1) x 10m + 9 x 10m-1 + …+9 x 10R+1 + 10 x 10R (например, если m=4, R =1, am = 6, то 6х104 = 5 х 104 + 9 х 103+ 9 х 102 + 10 х 10).
Поэтому в равенстве (1) выражение (am – вm) x 10m + … +(aR - вR ) x 10R
Можно заменить на (am – вm – 1 ) x 10m + (9- вm-1 )x 10m-1 + …+ (9 – вR+1 )x 10R+1 + (aR + 10 – вR ) x 10R
Из того , что aR < вR < 10 , вытекает неравенство 0<10 + aR – вR < 10 а из того, что 0≤ вs≤ 9 , вытекает неравенство 0 ≤ 9 – вs <10 где R + 1 ≤s≤m – 1. Поэтому в записи х – у = (ап – вп ) х 10п + …+ (аm – вm – --1)x10m + (9 – вm-1 ) x 10m-1 + …+ (9 – вR+1 ) x 10R+1 + ( aR + 10 – вR ) x10R + … + (ao – во ) все коэффициенты с индексом, меньшим m , неотрицательны и не превосходят 9. Применяя далее те же преобразования к коэффициентам ап – вп ,… , аm – вm– 1, через п шагов придем к записи разности х-у в виде х – у = сп х 10п + сп-1 х 10 п-1 + … +со ,где для всех R выполняется неравенство 0 < cR < 10. Если при этом окажется, что cп = 0 , то надо отбросить первые слагаемые, вплоть до первого коэффициента, отличного от нуля.
Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления.
1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.
2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.
3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е вo > ao ,
а цифра десятков отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + ао число во и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.
4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем во из 10 + ао , записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.
5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.
6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.
АЛГОРИТМ УМНОЖЕНИЯ.
Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.
Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм , какие теоретические факты лежат в его основе.
Умножим, например, столбиком 428 на 263.
Видим, что для получения ответа нам пришлось
умножить 428 на 3 , 6 и 2, т.е. умножить
многозначное число на однозначное; но, умножив
на 6, результат записали по особому, поместив единицы
числа 2568 под десятками числа 1284, так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 – это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.
Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:
- умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;
- складывать многозначные числа.
Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления 428 можно представить в виде 4 х 102 + 2 х 10 + 8 и тогда 428 х 3 = (4 х102+ 2 х 10 + 8 )х3. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4 х 102 ) х 3 + (2 х 10) х 3 + 8 х 3