Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 12 х 102 + 6 х 10 + 24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12 х 102 + 6 х 10 + 24
-коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1 х 10 + 2 , а число 24 в виде 2 х 10 + 4 . Затем в выражении (1 х 10 + +2) х 102 + 6 х 10 +(2 х 10 + 4) раскроем скобки: 1 х 103 + 2 х 102 + 6 х 10 + 2 х 10 + 4 На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 6 х 10 и 2х10 и вынесем 10 за скобки: 1 х 103 + 2 х 102+ (6 + 2) х 10 + 4 . Сумма 6+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения:
1 х 103 + 2 х 102 + 8 х 10 + 4
Полученное выражение есть десятичная запись числа 1284, т.е. 428 х 3 = 1284.
Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на :
- записи чисел в десятичной системе счисления;
- свойствах сложения и умножения;
- таблицах сложения и умножения однозначных чисел.
Введем правило умножения однозначного числа на однозначное в общем виде Пусть требуется умножить х = ап х 10п + ап-1 х 10п-1 + …+ ао на однозначное число У: Х х У = ( ап х 10п + ап-1 х 10п-1 +…+ ао ) х У = (ап х У) х 10п + (ап-1 х У)х 10п-1 + … + ао х У , причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведения аRx У, где 0 ≤ R ≤ п ,
соответствующими значениями аR х У = вR х 10 + с и получаем:
Х х У = (вп х 10 + сп ) х 10п + (вп-1 х 10 + сп-1 ) х 10п-1 +…+ ( в1 х 10 + с1 ) х 10 +( во х 10 + со ) =вп х 10п+1 + (сп + вп-1 ) х 10п + …+ ( с1 + во ) х 10 + со
По таблице сложения заменяем суммы сR + вR-1 ,где 0 ≤ R ≤ п и R = 0, 1, 2, …,п , их значениями.
Если, например, со однозначно, то последняя цифра произведения равна m а к скобке (с1 + во ) надо прибавить 1 .Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа Х х У.
Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм умножения многозначного числа апап-1 …а1ао на однозначное число У.
1. Записываем второе число под первым.
2. Умножаем цифры разряда единиц числа Х на число У. Если произведение меньше10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).
3. Если произведение цифр единиц числа Х на число У больше или равно 10, то представляем его в виде 10q1 + co , где co -однозначное число; записываем co в разряд единиц ответа и запоминаем q1 -перенос в следующий разряд.
4. Умножаем цифры разряда десятков на число У, прибавляем к полученному произведению число q1 , и повторяем процесс, описанный в пп. 2 и 3.
5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.
Как известно, умножение числа Х на число вида 10R сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа R нулей.
Покажем это. Умножим число Х = ап х 10п + ап-1 х 10п-1 +…+ ао на 10R : ( ап х 10п + ап-1 х 10п-1 +…+ао ) х 10R = aп х 10п+R + ап-1 х 10п+R-1 + …+ aox 10R
Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа
Апап-1 …а1ао0…0 ,т.к. равно ап х 10п+R + aп-1 х 10п+R-1 +…+aox 10R + 0 x 10R-1 + 0 x 10R-2 + … +0 x 10 + 0 Например , 347 х 103 = (3 х 102 + 4 х 10 + 7) х 103 = 3 х 105 + 4 х 104 + 7 х 10 3= 3 х 105 +4 х 104+ 7 х 103 +0 х 102 + 0 х 10 + 0 = 347000
Заметим еще, что умножение на число У х 10R , где У – однозначное число, сводится к умножению на однозначное число У и на число 10R . Например,
52 х 300 = 52 х (3 х 102 ) = ( 52 х 3 ) х 102 = 156 х 102 = 15600
Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428 х 263
Представим число 263 в виде суммы 2 х 102 + 6 х 10 + 3 и запишем произведение 428 х (2 х 102 + 6 х 10 + 3) . Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428 х (2 х 102 ) + 428 х (6 х 10) + 428 х 3 Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим:( 428 х 2) х 102 + (428 х 6)х х10+428х 3 Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2, 6 и 3, а также на степени 10.
Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде. Пусть Х и У – многозначные числа, причем у=вmx 10m + вm-1x 10m-1 +…+во
В силу дистрибутивности умножения относительно сложения, а также ассоциативности умножения можно записать: Х х У = Х х(вmx 10m +вm-1x 10m-1 +…+ во) =( Х х вm ) x 10m + (Xx вm-1) x 10m-1 +…+ Х х во
Последовательно умножая число Х на однозначные числа вm , вm-1 ,…, во , а затем на 10m , 10m-1 , 1, получаем слагаемые, сумма которых равна Х х У Приходим к алгоритму умножения числа Х= апап-1 … а1ао на число У = вmвm-1 …в1 во
1. Записываем множитель Х и под ним второй множитель У.
2. Умножаем число Х на младший разряд во числа У и записываем произведение Х х во под числом У.
3. Умножаем число Х на следующий разряд в1 числа У и записываем произведение Х х в1 , но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению Х х в1 на 10.
4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления Х х вR
5. Полученные R + 1 произведения складываем.
Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосновании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут:
428 х 3 = ( 400+ 20 + 8) х 3 = 400 х 3 + 20 х 3 + 8 х 3 =1200 + 60 + 24 = 1284
Основой выполненных преобразований являются:
- представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);
- правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);
- умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.
АЛГОРИТМ ДЕЛЕНИЯ.
Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число А на натуральное число В – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r ,
Что а = вq+r , причем 0 ≤ r < в.
Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как 9 х 6 = 54 . Если же надо разделить 51 на 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 – это число 45, и, следовательно, неполным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Таким образом, чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45 : 51 – 45 = 6. Значит, 51 = =9 х 5 + 6 , т.е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, при помощи деления уголком:
Будем теперь делить трехзначное число на однозначное , например, 378 на 4. Разделить 378 на 4 - это значит найти такое неполное частное q и остаток r , что 378 = 4q + r ,причем остаток r должен удовлетворять условию 0 ≤ r < в , а неполное частное q - условию 4 q ≤ 378 < 4(q + 1).
Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q . Однозначным числом q быть не может, так как тогда произведение 4qможет быть максимально равно 36 и, значит ,не будут выполняться условия, сформулированные выше для r и q . Если число q двузначное, т.е. если 10<q<100 , то тогда 40<4q<400 и, следовательно, 40<378<400 что верно. Значит, частное чисел 378 и 4 - число двузначное.
Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20, 30, 40 и т.д. Поскольку 4 х 90 = 360 , а 4 х 100 = 400 , и 360<378<400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. q= 90 + qo . Но тогда должны выполняться неравенства: 4 x (90 + qo )≤ 378 < 4 x (90q + qo + 1),
откуда 360 + 4qo≤ 378 < 360 + 4 (qo + 1) и 4qo≤18 < 4 (qo + 1).
Число qo (цифра единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения . Получаем, что qo = 4 и, следовательно, неполное частное q = 90 + 4 = 94 Остаток находится вычитанием: 378 – 4 x 94 = 2
Итак, при делении числа 378 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 2:
378 – 4 x 94 + 2. Описанный процесс является основой деления уголком:
Аналогично выполняется деление многозначного числа на многозначное. Разделим, например, 4316 на 52. Выполнить это деление - значит найти такие целые неотрицательные числа q и r , что 4316 = 52q + r , 0 ≤ r < 52 , а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q≤ 4316 < 52 (q + 1)
Определим число цифр в частном q . Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q- двузначное число), так как 520<4316<5200
Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52 х 80 = 4160 , а 52 х 90 = 4680 , и 4160<4316<4680 , то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q= 80 + qo . Но тогда должны выполняться неравенства:
52 x (80 + qo ) ≤ 4316 < 52 x (80 + qo + 1),
4160 + 52qo≤ 4316 < 4160 + 52 x (qo + 1),
52qo≤ 156 < 52 x (qo + 1).