Элементы фрактальной теории (стр. 2 из 3)
Регулярні і дивні атрактори динамічних систем.
Рух дисипативних систем доцільно розділяти на два класи: клас перехідних нестійких рухів, що відповідають процесу релаксації від початкової до граничної множини станів і клас сталих стаціонарних рухів, фазові траєкторії яких повністю належать граничним множинам. Притягуючи граничні множини називаються атракторами.
О1- фокус з областю притягування 1. Граничний цикл має області притягування 2 і 3, значить атрактор – граничний цикл, а 2 і 3 – басейни для граничного циклу. Сепаратрисний контур відділяє різні області притягування атракторів. З часом довільно задане початкове положення із деякої області притягування G , що містить атрактор G0 релаксує до G0. Рух, якому відповідає фазова траєкторія в області притягування є перехідним процесом.
У системах з розмірністю фазового простору N>3 при хаотичному русі з’являються складним чином побудовані притягуючі множини, траєкторії відображаючих точок яких не належать ні до одного з вище наведених типів атракторів. Фазові траєкторії представляються у вигляді нескінченних, що ніде не перетинаються ліній, причому при
траєкторія не залишає замкненої області і не притягується до відомих типів атракторів. Такі траєкторії називаються стійкими по Пуассону, де мається на увазі факт повернення траєкторії з часом в малий окіл початкової точки. Саме з існуванням таких траєкторій пов’язують хаотичну поведінку детермінованих динамічних систем з розмірністю фазового простору 
.Атрактори у вигляді граничних циклів станів рівноваги l-вимірних торів називається простими або регулярними. Рух на них відповідає стійкості по Ляпунову. З дивним атрактором пов’язано реалізацію складного регулярного коливального режиму, який схожий на стаціонарні випадкові процеси. Принципова різниця між регулярними і дивними атракторами у тому, що регулярні характеризуються стійкістю як по Ляпунову, так і по Пуассону. А дивні стійкі по Пуассону і не стійкі по Ляпунову. У фазовому просторі дивний атрактор має фрактальну структуру.
Нелінійні елементи.
Будь-яка хаотична система повинна мати нелінійні елементи або властивості. У лінійній системі не буває хаотичних коливань. У лінійній системі періодичний зовнішній вплив викликає після затухаючих перехідних процесів періодичний відгук того ж періоду.
Джерелами хаосу можуть бути такі елементи:
1. Нелінійні пружні елементи: пружини (затухання типу тертя)
2. Щілини або обмежені отвори
3. Сили, що створюються рідинами
4. Нелінійні зворотні зв’язки у системах управління
5. Нелінійні граничні умови
6. Нелінійні резистори, ємності, або індуктивні елементи електричних ланцюгів
7. Діоди
8. Електричні, магнітні сили
9. Геометричні нелінійності зв’язані з сильними деформаціями
10. Перелік систем де спостерігається хаотичні коливання
11. Коливання вигнутих пружних атракторів
12. Аеропружні системи
13. Магнітомеханічні приводи
14. Системи з обертаннями або гіроскопами
15. Лазери і нелінійні акустичні системи
Показник Ляпунова.
. Якщо d0- міра початкової відстані між двома заданими точками, то через малий проміжок часу t відстань між траєкторіями що виходять із цих точок стає рівною по формулі. 
- показник Ляпунова. Основа 2 вибрана для зручності і може бути будь-якою. Експоненціальне розбігання хаотичних траєкторій може бути тільки локальним. Так як система обмежена, то d(t) не може зростати до нескінченності. Таким чином для того щоб визначити міру розбігання траєкторії необхідно усереднити експоненціальне зростання по багатьом точкам вздовж траєкторії, як показано на малюнку:Обчислення показника Ляпунова починається з обраної початкової точки на сусідній траєкторії і оцінюванням величини
. Коли d(t) стає дуже великим, тобто зростання від експоненціальної поведінки обираємо нову сусідню точку. Показник Ляпунова можна задати виразом: 
Критерії хаосу в термінах показника Ляпунова має вигляд
- хаотичний рух, 
- регулярний рух.Біфуркації
Зі зміною параметрів динамічної системи може змінюватись кількість точок рівноваги і їх стійкість. Такі зміни нелінійної системи пов’язані зі зміною параметрів системи є предметом теорії біфуркацій. Ті значення параметрів при яких змінюються якісні або топологічні властивості руху називаються критичними або біфуркаційними значеннями.
Види біфуркацій:
1. Осцилограф Дуффінга
якщо 
якщо
Значення параметру
є біфуркаційним.З однієї точки з’являється три – біфуркація типу “вили”.
2. біфуркація типу Хопфа. При подальшій зміні керуючого параметру знову відбуваються біфуркації вже нових рішень. Існує деяке значення накопичення при перевищенні якого біфуркації змінюються появою хаосу.
Відображення і потоки.
Поняття потоку описує пучок траєкторій в фазовому просторі, який починається на множині близьких початкових умов. Проте, певну якісну і кількісну інформацію про систему можна отримати аналізуючи еволюцію системи на дискретно-обраних моментах часу. Зокрема, це робиться за допомогою перетинів Пуанкаре, яке дозволяє розрізнити рухи якісно відмінних типів, наприклад гармонічних, субгармонічних, хаотичних.
Відображення Пуанкаре.
При математичному дослідженні динамічних систем, відображенням називають виборку за часом даних
причому вводять позначення, що 
.У простому детермінованому відображенні
можна знайти за значенням 
. Поняття відображення узагальнюється і на більшу кількість змінних, так 
може бути вектором з М компонентами. Тоді будемо мати систему з М рівнянь.Припустимо
, тоді будемо мати відображення: 
Відображення Пуанкаре для систем з вимушеними коливаннями
Коли присутні примушуючий рух з періодом Т, то для отримання відображення Пуанкаре робиться виборка, коли
.Відображення Пуанкаре для автономних систем
Стаціонарні коливання можуть збуджуватись без періодичних, або випадкових виливів, якщо система динамічно нестійка. У такому випадку перетин Пуанкаре будується завданням у фазовому просторі орієнтованої поверхні розмірності n-1. Після чого фіксуються точки перетину фазових траєкторій з цією поверхнею в одному і тому ж напрямку. Якщо система хаотична, то відображення Пуанкаре буде містити фрактальну структуру.
Класи структур, що зустрічаються у відображенні Пуанкаре:
1. Обмежений набір точок – це періодичні або субгармонічні коливання.
2. Замкнена крива – це квазіперіодичний рух
3. Фрактальний набір точок – це дивний атрактор у тривимірному фазовому просторі.
Відображення Фейгенбаума.
- рівняння, що описує ріст популяції. Лінійні члени описують ріст або народження, а нелінійні відповідають за обмеження росту, пов’язане з обмеженням харчових або енергетичних ресурсів.Нехай
, тоді 
Рішення стійке, коли
, і нестійке, коли 
. Отримаємо нереалістичне зростання нашої популяції. Це рівняння переписують в іншому вигляді: 
. Дістанемо точки рівноваги для відображення. Нам потрібно розв’язати рівняння 