Элементы фрактальной теории (стр. 1 из 3)
Нелінійна динаміка. Теорія хаосу. Фронтальна геометрія.
Хаотичними називаються такі динамічні системи рух яких не можна передбачити на великий проміжок часу і в яких відсутні невідомі сили і параметри.
Повинні розрізняти випадкові і хаотичні рухи. Перший термін відноситься до ситуацій, коли нам невідомі діючі сили, або ми маємо деякі статистичні характеристики параметрів. Термін “хаотичний” використовується в тих детермінованих задачах де відсутні випадкові або непередбачувальні сили. Основоположником був Паре (854 - 912). У сучасній літературі термін “хаотичний” використовується до таких рухів у детермінованих фізичних і математичних системах, траєкторії яких виявляють сильну залежність від початкових умов.ААА…
АВАВ…
 |
ААВАВВВ … - хаос
Періодична дія частоти викликає відгук широкого спектру частот. Збудження безперервного спектру частот, що знаходиться нижче частоти збудження є однією із особливостей хаотичних коливань. Друга властивість: втрати інформації про початкові умови.
Стала h пов’язана з поняттям ентропії у теорії інформації. Показник Ляпунова – міра швидкості розбігання близьких траєкторій системи.
Для дисипативних систем хаотична динаміка розвивається у рамках визначеної структури. Цю структуру нелегко досліджувати за допомогою звичайних методів динаміки, відкладаючи залежність відгуку від часу, або отримуючи частотний спектр. такі системи досліджуються у фазовому просторі, де і проявляються їх фрактальна структура.
Поняття фракталів.
Фрактали – множини з нецілою розмірністю Хаусдорфа-Безиковича. Поняття розмірності виникло в топології. Під розмірністю множини розуміли її топологічну розмірність. Топологічна розмірність може приймати цілі значення dt=-1,0,1,2…
-1 – характеристика пустої множини; 0 – точка; 1 – пряма; 2 – площина; …
розглядається рівномірне розподілення N0 точок вздовж кривої.
Якщо ми будемо покривати площину прямокутниками з стороною ε, причому кубів N<N0Ε зменшуємо в 2 рази, тоді
(сфери радіуса ε).Візьмемо 2-вимірну поверхню:
…. 
(1) Якщо множина S вкладається в евклідовий простір R розміром D, то для визначення розмірності Хаусдорфа – Безиковича або фрактальної розмірності використовується формула (1).N(ε) – мінімальна кількість D-кубів з ребром ε, якими можна покрити множину S.
Приклади фрактальних площин.
1. Канторова множина.
Отримали спадаючу послідовність множин
Канторова множина S за визначенням отримується як перетин множин Sn. Для отримання фрактальної розмірності будемо покривати множину S відрізками зі змінною довжиною.
2. Крива Коха.
Множина будується шляхом рекурентної процедури на евклідовій площині, для якої d=2.
3. Прокладка (килим) Серпинського.
4. Губка Серпинського.
Всі розглянуті фрактали отримаються в результаті використання на кожному кроці деякої однотипної процедури або генератора, яка задається деякою геометричною фігурою. Такі фрактали називаються регулярними геометричними фракталами. Природні об’єкти рідко описуються регулярними геометричними фракталами, але для них можна виконувати точні розрахунки, які мають велике практичне значення. Такі фрактали є локально-самоподібними. Для випадкових або стохастичних фракталів локальна самоподібність реалізується в узагальненому сенсі.
Динамічні системи.
Під динамічною системою розуміють об’єкт або процес, для якого однозначно визначено поняття стану, як сукупність деяких величин у заданий момент часу і задано оператор, що описує еволюцію системи з часом. Закон еволюції у вигляді системи диференціальних рівнянь:
. Якщо розглядати величини 
як координати точки х у N-вимірному просторі, то отримаємо наочне геометричне зображення стану динамічної системи у вигляді цієї точки. Останню називають відображаючою або фазовою, а простір станів фазовим. Змінні стану системи відновлюють рух фазової точки вздовж траєкторії. Розрізняють динамічні системи з неперервним і дискретним часом. Перший називають потоками, а другий – каскадами. Відповідно фазовий простір є неперервним і дискретним.Коливання системи поділяють на класи:
1. Лінійні і нелінійні
2. Зосереджені і розподілені
3. Консервативні і дисипативні
4. Автономні і неавтономні
Особливим класом є автоколивальні. Хаотичні коливання з’являються в нелінійних дисипативних коливальних системах, як результат ускладнення звичайних режимів регулярних періодичних коливань при зміні керуючих параметрів системи.
Динамічні системи, що моделюються обмеженим числом диференціальних рівнянь називаються зосередженими (для них скінчений вимірний фазовий простір і обмежене число ступенів свободи). Математичні моделі розподільних систем – це рівняння у частинних похідних або інтегральні рівняння (для них не можна визначити скінчений вимірний простір і число ступенів свободи). Для консервативних систем, які характеризуються незмінним у часі запасом енергії елемент фазового простору не змінюється з часом. Динамічні системи зі змінним у часі запасом енергії називаються неконсервативними. Якщо це тертя або розсіювання, то дисипативні.
Фазова площина.
Для того щоб знайти точки рівноваги системи диференціальних рівнянь потрібно прирівняти ліві частини до нуля і вирішити систему і знайти координати точок рівноваги. Після чого кожну точку рівноваги слід дослідити на стійкість, після чого будувати фазовий портрет системи. Точка рівноваги буде стійкою по Ляпунову, якщо при
для кожного як завгодно 
можна вказати 
таке, що при всіх значеннях 
виконуються нерівності: 
, якщо початкові умови задовольняють нерівностям: 
. Для лінійної системи звичайних диференціальних рівнянь, пишеться характерне рівняння і в залежності від значення коренів цього рівняння визначаємо стійкість або нестійкість точки рівноваги.1. Корені дійсні, від’ємні, різні – стійкий вузол.
2. Корені дійсні, додатні, різні – нестійкий вузол.
3. Корені дійсні, різних знаків – нестійке сідло.
4. Корені комплексні, з від’ємною дійсною частиною – стійкий фокус.
, 
, ( 
)5. Корені комплексі з додатньою частиною. Нестійкий фокус.
, , ( 
)6. Корені чисто мнимі. Рішення стійке – називається центр.
, 
7. Рішення стійке.
, 
8. Рішення нестійке.
, 
9. Рішення стійке.
10. Рішення нестійке.
якщо нелінійна система рівнянь, то пишеться рівняння варіацій:
. Далі складається лінеарезоване рівняння і досліджується. Коли розглядається n-вимірний простір, то стійкість рівнянь визначається за знаком дійсної частини кореня. Якщо дійсна частина одного з коренів більше нуля, то рух нестійкий.