Власні значення і власні вектори матриці (стр. 3 из 8)

При розв’язуванні теоретичних і практичних задач часто виникає потреба визначити власні значення даної матриці А, тобто обчислити корені її вікового (характеристичного) рівняння

det(A - lE) = 0 (2)

а також знайти відповідні власні векторі матриці А. Друга задача є простішою, оскільки якщо корені характеристичного рівняння відомі, то знаходження власних векторів зводиться до відшукання ненульових розв’язків деяких однорідних лінійних систем. Тому ми в першу чергу будемо займатися першою задачею — відшуканням коренів характеристичного рівняння (2).

Тут в основному застосовуються два прийоми: 1) розгортання вікового визначника в поліном n-го степеня

D(l) = det(A - lE)

з подальшим розв’язком рівняння D(l) = 0 одним з відомих наближених, взагалі кажучи, способів (наприклад, методом Лобачевського-Греффе) наближене визначення коренів характеристичного рівняння (найчастіше найбільших по модулю) методом ітерації, без попереднього розгортання вікового визначника.

Розгортання вікового визначника.

Як відомо, віковим визначником матриці А = [a_ij] називається визначник вигляду

D(l) = det(A - lE) =

(1)

Прирівнюючи цей визначник до нуля, одержуємо характеристичне рівняння

D(l) = 0

Якщо потрібно знайти все коріння характеристичного рівняння, то доцільно заздалегідь обчислити визначник (1).

Розгортаючи визначник (1), одержуємо поліном n-го степеня

(2)

Де

є сума усіх діагональних мінорів першого порядку матриці А.

є сума всього діагонального мінору другого порядку матриці А;

— сума всіх діагональних мінорів третього порядку матриці А і т.д. Нарешті

s_n = det A.

Легко переконатися, що число діагональних мінорів k-го порядку матриці А дорівнює

(k = 1, 2, …, n ).

Звідси одержуємо, що безпосереднє обчислення коефіцієнтів характеристичного полінома (2) еквівалентно обчисленню

визначників різних порядків. Остання задача, взагалі кажучи, технічно важко здійснена для скільки-небудь великих значень n. Тому створені спеціальні методи розгортання вікових визначників (методи А. Н. Крилова, А. М. Данілевського, Леверье, метод невизначених коефіцієнтів, метод інтерполяції та ін.).

Розділ ІІ. Знаходження власних векторів і власних значень матриць

2.1 Метод А. М. Данілевського

Суть методу А. М. Данілевського [1] полягає в приведенні вікового визначника до так званого нормального виду Фробеніуса

. (1)

Якщо нам вдалося записати вікового визначника у формі (1), то, розкладаючи його по елементах першого рядка, матимемо:

Або

. (2)

Таким чином, розгортання вікового визначника, записаного в нормальній формі (1), не представляє труднощів. Позначимо через

дану матрицю, а через

— подібну їй матрицю Фробеніуса, тобто

,

де S - особлива матриця.

Оскільки подібні матриці володіють однаковими характеристичними поліномами, то маємо:

det(A-lE)= det(P-lE). (3)

Тому для обґрунтування методу досить показати, яким чином, виходячи з матриці А, будується матриця Р. Згідно методу А. М. Данілевського, перехід від матриці А до подібної їй матриці Р здійснюється за допомогою т - 1 перетворення подібності, що послідовно перетворюють рядки матриці А, починаючи з останньої, у відповідні рядки матриці Р.

Покажемо початок процесу. Нам необхідно рядок

перевести в рядок 0 0 ... 1 0. Припускаючи, що

, розділимо всі елементи (n-1) - го стовпця матриці А на . Тоді її n-й рядок прийме вигляд

.

Потім віднімемо (n-1) - й стовпець перетвореної матриці, помножений відповідно на числа

, зі всієї решти її стовпців.

В результаті одержимо матрицю, останній рядок якої має бажаний вигляд 0 0 ... 1 0. Вказані операції є елементарними перетвореннями, що здійснюються над стовпцями матриці А. Виконавши ці ж перетворення над одиничною матрицею, одержимо матрицю

Де

при і ≠ n - 1(4)

І

.(4')

Звідси робимо висновок, що проведені операції рівносильні множенню справа матриці

на матрицю А, тобто після вказаних перетворень одержимо матрицю

. (5)

Використовуючи правило множення матриць, знаходимо, що елементи матриці В обчислюються за наступними формулами:

(6)

(6')

Проте побудована матриця

не буде подібна матриці А. Для того щоб мати перетворення подібності, потрібно обернену матрицю зліва помножити на матрицю В:

.

Безпосередньою перевіркою легко переконатися, що обернена матриця

має вигляд

(7)

Нехай

Отже

(8)

Оскільки, очевидно, множення зліва матриці

на матрицю В не змінює перетвореного рядка останньої, то матриця C має вигляд

(9)

Перемножуючи матриці

(7) і B (5), матимемо:

(10)

І

(10')

Таким чином, множення

на матрицю В змінює лише (n - 1) -й рядок матриці В. Елементи цього рядка знаходяться за формулами (10) і (10'). Одержана матриця C подібна матриці А і має один зведений рядок. Цим закінчується перший етап процесу.

Далі, якщо

, то над матрицею C можна повторити аналогічні операції, узявши за основу (n - 2) -й її рядок. В результаті одержимо матрицю

з двома зведеними рядками. Над останньою матрицею проробляємо ті ж операції. Продовжуючи цей процес, ми, нарешті, одержимо матрицю Фробеніуса

якщо, звичайно, всі n - 1 проміжних перетворень можливі. Весь процес може бути оформлений в зручну обчислювальну схему, складання якої покажемо на наступному прикладі.

Приклад. Привести до вигляду Фробеніуса матрицю

.

Розв’язання.

Обчислення розташовуємо в таблицю 1.

Номеррядка		Рядки матриці				Σ	Σ’
		1	2	3	4
1234	1234	2123	3212	4321	108810
І		–2	–1,5	0,5–1	–0,5	–5
5678	4321	–5210	–2,5–20,50	1,510,51	2,521,50	–3,5–13,51	–5–230
7’	–24	–15	11	19	–9
ІІ		–1,600	–0,067–1	0,733	1,267	–0,600
9	–24	–1	0,167	–0,333	–0,667	–1,833	–2
10	–15	1,2	0,133	–0,467	–0,533	0,333	0,2
11	11	0	1	0	0	1	0
12	19	0	0	1	0	1	1
10’	6	5	34	24	69
ІІІ		0,167–1	–0,833	–5,667	–4,000	–11,500
13	6	–0,167	1	5,333	3,333	9,500	9,667
14	5	1	0	0	0	1	0
15	34	0	1	0	0	1	1
16	24	0	0	1	0	1	1
13’	4	40	56	20	120

У рядках 1-4 таблиці 1 розміщуємо елементи

даної матриці і контрольні суми . Відзначаємо елемент , що належить третьому стовпцю (відмічений стовпець). У рядку 1 записуємо елементи третього рядка матриці , що обчислюються за формулами (4) і (4'):