Власні значення і власні вектори матриці (стр. 5 из 8)

Перетворення M₁, здійснене над y, дає:

Таким чином, перетворення М₁ змінює лише першу координату вектора. Аналогічно перетворення М₂ змінить лише другу координату вектора М₁у і т.д. Повторивши цей процес n-1 разів, одержимо шуканий власний вектор х матриці А.

2.2 Метод А. Н. Крилова

Приведемо метод розгортання вікового визначника, що належить А. Н. Крилову [1] і заснований на істотно іншій ідеї, ніж метод А. М. Данілевського.

Нехай

(1)

— характеристичний поліном (з точністю до знаку) матриці А. Згідно тотожності Гамільтона-Келі, матриця А обертає в нуль свій характеристичний поліном; тому

. (2)

Візьмемо тепер довільний ненульовий вектор

.

Множачи обидві частини рівності (2) справа на

, одержимо:

. (3)

Покладемо:

; (4)

тоді рівність (3) набуває вигляду

(5)

або

(5’)

Де

Отже, векторна рівність (5) еквівалентна системі рівнянь

(6)

з якої, взагалі кажучи, можна визначити невідомі коефіцієнти

.

Оскільки на підставі формули (4)

,

то координати

вектора послідовно обчислюються за формулами

(7)

Таким чином, визначення коефіцієнтів p_j характеристичного полінома (1) методом А. Н. Крилова зводиться до розв’язання лінійної системи рівнянь (6), коефіцієнти якої обчислюються за формулами (7), причому координати початкового вектора

довільні. Якщо система (6) має єдиний розв’язок, то її корені р₁, р₂ . . ., р_n є коефіцієнтами характеристичного полінома (1). Цей розв’язок може бути знайдено, наприклад, методом Гауса. Якщо система (6) не має єдиного розв’язку, то завдання ускладнюється. В цьому випадку рекомендується змінити початковий вектор.

Приклад. Методом А. Н. Крилова знайти характеристичний поліном матриці

Розв’язання. Виберемо початковий вектор

Користуючись формулами (7), визначимо координати векторів

.

Маємо:

Складемо систему (6):

яка в нашому випадку має вигляд

Звідси

Розв’язавши цю систему, одержимо:

.

Отже

,

що співпадає з результатом, знайденим по методу А. М. Данілевського.

Обчислення власних векторів по методу А. Н. Крилова.

Метод А. Н. Крилова дає можливість просто знайти відповідні власні вектори [1].

Для простоти обмежимося випадком, коли характеристичний поліном

(1)

має різні корені

. Припустимо, що коефіцієнти полінома (1) і його корені визначені. Потрібно знайти власні вектори , що відповідають відповідно власним значенням .

Нехай

— вектори, використані в методіА.Н. Крилова для знаходження коефіцієнтів . Розкладаючи вектор y⁽⁰⁾ по власних векторах , матимемо:

(2)

де

— деякі числові коефіцієнти. Звідси, враховуючи, що

,

одержимо:

(3)

Нехай

(4)

— довільна система поліномів. Складаючи лінійну комбінацію векторів з коефіцієнтами , в силу співвідношень (2) і (3) знаходимо:

.(5)

Якщо покласти

,(6)

то, очевидно

при

І

Формула (5) при цьому приймає вигляд

. (7)

Таким чином, якщо

, то одержана лінійна комбінація векторів дає власний вектор х^(і) з точністю до числового множника.

Коефіцієнти

можуть бути легко визначені за схемою Горнера

2.3 Метод Леверрьє

Цей метод [1] розкриття вікового визначника заснований на формулах Ньютона для сум степенів коренів алгебраїчного рівняння.

Нехай

(1)

— характеристичний поліном даної матриці

та — повна сукупність його коренів, де кожен корінь повторюється стільки разів, яка його кратність.

Покладемо

.

Тоді при

справедливі формули Ньютона

. (2)

Звідси

(3)

Якщо суми

відомі, то за допомогою формул (3) можна крок за кроком визначити коефіцієнти характеристичного полінома (1).

Суми

обчислюються таким чином: для маємо:

Тобто

(4)

Далі, як відомо,

є власними значеннями матриці . Тому