Власні значення і власні вектори матриці (стр. 6 из 8)

тобто якщо

то

. (5)

Степені

знаходяться безпосереднім перемножуванням.

Таким чином, схема розкриття вікового визначника по методу Леверрьє вельми проста, а саме: спочатку обчислюються

— степені даної матриці А, потім знаходяться відповідні s_k - суми елементів головних діагоналей матриць , нарешті, по формулах (3) визначаються шукані коефіцієнти .

Метод Леверрьє вельми трудомісткий, оскільки доводиться підраховувати високі степені даної матриці. Достоїнство його — нескладна схема обчислень і відсутність виняткових випадків.

Приклад. Методом Леверрьє розгорнути характеристичний визначник матриці

Розв’язання. Утворюємо степені

матриці А. Маємо:

Відмітимо, що не було необхідності обчислювати

повністю, досить було знайти лише головні діагональні елементи цієї матриці.

Звідси

Отже, по формулах (3) матимемо:

Таким чином, ми одержуємо вже відомий результат:

2.4 Метод невизначених коефіцієнтів

Розгортання вікового визначника можна також здійснити за допомогою знаходження досить великої кількості його числових значень.

Нехай

(1)

є віковим визначником матриці А, тобто

.

Якщо в рівності (1) послідовно покласти

, то для коефіцієнтів одержимо систему лінійних рівнянь

(2)

Звідси

(3)

І

З системи (3) можна визначити коефіцієнти

характеристичного полінома (1).

Вводячи матрицю

і вектори

систему (3) можна записати у вигляді матричного рівняння

(4)

звідси

(5)

Відмітимо, що обернена матриця

залежить тільки від порядку n вікового визначника і може бути знайдена наперед, якщо доводиться мати справу з масовим розкриттям вікових визначників одного і того ж порядку.

Таким чином, застосування цього методу зводиться до обчислення числових визначників

і знаходження розв’язку стандартної лінійної системи (4).

2.5 Метод скалярних добутків для знаходження першого власного значення дійсної матриці

Для відшукання першого власного значення

дійсної матриці А можна вказати дещо інший ітераційний процес, що є іноді вигіднішим. Метод [1] заснований на утворенні скалярних добутків

і

де А' — матриця, транспонована з матрицею А, і у₀ — вибраний яким-небудь чином початковий вектор.

Переходимо тепер до викладу самого методу.

Нехай А — дійсна матриця і

— її власні значення, які передбачаються різними, причому

Візьмемо деякий ненульовий вектор у₀ і за допомогою матриці А побудуємо послідовність ітерацій

(1)

Для вектора у₀ утворюємо також за допомогою транспонованої матриці А' другу послідовність ітерацій

(2)

де

.

Згідно з теоремою 1 розділу X § 16 в просторі Е_п виберемо два власні базиси

і відповідно для матриць А і А', що задовольняють умовам біортонормування:

(3)

де

і . Позначимо координати вектора у₀ в базисі через , а в базисі — через тобто

і

Звідси

(4)

І

( )

Складемо скалярний добуток

Звідси через умову ортонормування знаходимо:

(5)

Аналогічно

(6)

Отже, при

маємо:

Таким чином,

(7)

Цей метод особливо зручний для симетричної матриці А, оскільки тоді А'=А, і ми маємо просто

(8)

і, отже, тут потрібно побудувати тільки одну послідовність

.

Приклад. Методом скалярних добутків знайти найбільше власне значення матриці

Розв’язання. Оскільки матриця А — симетрична, то досить побудувати лише одну послідовність ітерацій

.

Вибираючи за початковий вектор

можна використати результати таблиці 27. Наприклад, при k = 5 і k = 6 маємо:

і

Звідси

І

Отже,