Задачи по теории вероятности 2 (стр. 2 из 4)

Условные вероятности заданы в условии задачи: Р(А/В₁) = 0,91, Р(А/В₂) = 0,82, Р(А/В₃) = 0,77.

Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности:

Р(В₁) = 13/42 = 0,3095; Р(В₂) = 12/42 = 0,2857; Р(В₃) = 17/42 = 0,4048;

Р(А) = 0,91 * 0,3095 + 0,82 * 0,,2857 + 0,77 * 0,4048 = 0,8276.

По формуле Байеса (1.8.) вычисляем условные вероятности событий (гипотез) В₁:

Р(В₁/А) =

Р(В₂/А) =

Р(В₃/А) =

Ответ: Р(В₁/А) = 0,3403, Р(В₂/А) = 0,2831, Р(В₃/А) = 0,3766

Работа №2

Случайные величины.

6 - вариант.

Задача 2.1. В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,36. Вычислить все вероятности р_k, k = 0, 1, 2, ..., 11, где k частота события А. Построить график вероятностей р_k_. Найти наивероятнейшую частоту.

Задано:n = 11, p = 0,36, q = 1 - p = 0,64.

Найти: р₀, р₁, р₂ , ..., р₁₁ и k.

Используя формулу Бернулли. Значение р₀ вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности р_k - по второй.

Для формулы вычисляем постоянный множитель

р/q = 0,36/ 0,64 = 0,5625, р₀ =

*0,36⁰ * 0,64¹¹ = 0,0073787.

Результаты вычислений запишем в таблице 1. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство

По найденным значениям вероятностей построим их график (рис. 1).

Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:

np - q

np + p,

np - q = 11 * 0,36 - 0,64 = 3,32.np + k = 4,32

Значит, наивероятнейшая частота k = 4 и, было получено ранее, значение р₃ является максимальным.

Таблица 1

(n-k-1)/ k

р_k

(n-k-1)/ k

p_k

11/ 1

10/ 2

9/ 3

8/ 4

7/ 5

0,0073787

0,0456556

0,1284066

0,2166861

0,2437719

0,1919704

6/ 6

5/ 7

4/ 8

3/ 9

2/ 10

1/ 11

0,1079833

0,0433861

0,0122023

0,0022879

0,0002573

0,0000131

0,9926213

Рисунок 1 График вероятностей р_k

Задача 2.2. В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,47. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно 330 раз;

б) меньше чем 330 и больше чем 284 раз;

в) больше чем 330 раз.

а) Задано: п = 760, р = 0,47, М = 330.

Найти: Р₇₆₀(330).

Используем локальную теорему Муавра - Лапласа . Находим:

Значение функции j(x) найдем из таблицы :

j(1,98) = 0,0562, P₇₆₀(330) = 0,0562/ 13,76 = 0,00408.

б) Найти: Р₇₆₀(284<k<330).

Используем интегральную теорему Муавра - Лапласа .

Находим:

Значение функции Ф(х) найдем из таблицы :

Р₇₆₀(284<k<330) = Ф(-1,98) - Ф(-5,32) = Ф(5,32) - Ф(1,98) = 0,5 – 0,4761 = 0,0239.

в) Найти: Р₇₆₀(330<k).

Имеем:

х₁ = -1,98,

Р₇₆₀(330<k) = Р₇₆₀(330<k<760) = Ф(29,3) + Ф(1,98) = 0,5 - 0,4761 = 0,9761.

Задача 2.4. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/800. Найти вероятность того, что среди 5600 соединений имеет место:

а) точно 2 неправильных соединений;

б) меньше чем 3 неправильных соединений;

в) больше чем 8 неправильных соединений.

а) Задано: n = 5600, p = 1/800, k = 2.

Найти: Р₈₀₀(2).

Получаем:

l = 5600 * 1/800 = 7.

Р₈₀₀(2) =

б) Задано k<3.

Найти: Р₂₀₀(k<3).

Имеем:

l= 7.

Р₈₀₀(k<3) = Р₈₀₀(0) + Р₈₀₀(1) + Р₈₀₀(2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296.

в) Заданоk > 8.

Найти: Р₈₀₀(k > 8).

Находим

l= 7.

Эту задачу можно решить проще, найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем

Р₈₀₀(k>8) = 1 – Р₈₀₀(k

8) = 1 - Р₈₀₀(k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709.

Задача 2.6. Случайная величина Х задана рядом распределения.

Х	8 12 16 24
Р	0,11 0,14 0,50 0,25

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х и построить ее график. Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DXи моду Мо.

R = 4

Построим график функции распределения F(x) . Среднее значение ЕХ вычисляем по формуле:

ЕХ = 8*0,11 + 12*0,14 + 16*0,5 + 24*0,25 = 16,56.

Дисперсия: Е(Х²) = 8²*0,11 + 12²*0,14 + 16²*0,5 + 24²*0,25 = 299,2

DX = 299,2 – 16,52² = 26,2896.

График функции распределения

Задача 2.7. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

f(x) =

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х. Построить график функции f(x) и F(x). Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DX, моду Мо и медиану Ме. К = 8, R = 12.

Функцию распределения F(х) непрерывной случайной величины найдем по формуле:

Поэтому

Построить графики функций f(x) и F(x). Среднее значение Х вычисляем по формуле:

ЕХ =

Для нахождения дисперсии Х воспользуемся формулами:

Е(Х²) =

DX = 40,5 – (4,5)².

Из графика видно, что f(x) достигает максимума в точке х = 1/2 и, значит, Мо = 12. Для нахождения медианы Ме нужно решить уравнение х²/ 256 = 1/2, или х² = 128. Имеем х = ± 11,31, Ме = 11,31.

6 12 х

График функции плотности вероятности f(x).