Задачи по теории вероятности 2 (стр. 1 из 4)
Работа №1
Случайные события
6 вариант.
Задача 1.1. Бросают три монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится ''герб''.
Исследуемое событие А – только на двух монетах из трех будет герб. У монеты две стороны, значит всего событий при бросании трех монет будет 8. В трех случаях только на двух монетах будет герб. Вероятность события А вычислим с помощью формулы :
Р(А) = m/n = 3/8.
Ответ: вероятность 3/8.
Задача 1.2. Слово СОБЫТИЕ составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.
Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие А состоит в получении нужного слова СОБЫТИЕ. Элементарные события являются перестановками из 7 букв, значит, по формуле имеем n= 7!
Буквы в слове СОБЫТИЕне повторяются, поэтому не возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно 1.
Таким образом,
Р(А) = 1/7! = 1/5040.
Ответ: Р(А) = 1/5040.
Задача 1.3. Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным словом является слова АНТОНОВ ИЛЬЯ.
Эта задача решается аналогично предыдущей.
n= 11!; M = 2!*2! = 4.
Р(А) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200
Ответ: Р(А) =1/9979200.
Задача 1.4. В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:
а) 3 белых шаров;
б) меньше, чем 3, белых шаров;
в) хотя бы один белый шар.
8 ч Испытанием будет случайное вынимание 5 шаров. Элементарными
6 б событиями являются всевозможные сочетания по 5 из 14 шаров. Их число равно
а) А1 - среди вынутых шаров 3 белых. Значит, среди вынутых шаров 3 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем
Р(А1) = 560/2002 = 280/1001.б) А2 - среди вынутых шаров меньше чем 3 белых. Это событие состоит из трёх несовместных событий:
В1 - среди вынутых шаров только 2 белых и 3 черных шара,
В2 - среди вынутых шаров только один белый и 4 черных шара
В3 - среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 5 шаров черные:
А2 = В1
В2 В3.Так как события В1, В2 и В3 несовместимы, можно использовать формулу:
Р(А2) = Р(В1) + Р(В2) + Р(В3);
Р(А2) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.
в)
- среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае: 
Р(А3) = 1 - Р(
) = 1 - 28/1001 = 973/1001.Ответ: Р(А1) = 280/1001, Р(А2) = 483/1001, Р(А3) = 973/1001.
Задача 1.6. В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй урне 6 белых и и 4 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом 2 шара, а из второй - 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:
а) все шары одного цвета;
б) только три белых шара;
в) хотя бы один белый шар.
1 урна 2 урна Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями
5 б 6 б являются извлечение двух шаров из первой урны и двух шаров
7 ч 4 ч из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания
_____ ______ по 2 или 2 из 12 или 10 шаров соответственно.
2 2 а) А1 - все вынутые шары одного цвета, т.е. они или все белые,
или все черные.
Определим для каждой урны всевозможные события:
В1 - из первой урны вынуты 2 белых шара;
В2 - из первой урны вынуты 1 белых и 1 черный шар;
В3 - из первой урны вынуты 2 черных шара;
С1 - из второй урны вынуты 2 белых шара;
С2 - из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;
С3 - из второй урны вынуты 2 черных шара.
Значит, А1 =
, откуда, учитывая независимость и несовместимость событий, получаемР(А1) = Р(В1) * Р(С1) + Р(В3) * Р(С3).
Найдем количество элементарных событий n1 и n2 для первой и второй урн соответственно. Имеем:
Найдем количество каждого элемента событий, определяющих следующие события:
В1 : m11 =
C1 : m21 = 
B2 : m12 =
C2 : m22 = 
B3 : m13 =
C3 : m23 = 
Следовательно,
Р(А1) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.
б) А2 - среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае
А2 = (В1
С2 (В2 С1);Р(А2) = Р(В1) * Р(С1) + Р(В2) * Р(С2)
Р(А2) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.
в) А3 - среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.
- среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара. Тогда 
Р(
) = Р(В3) * Р(С3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;Р(А3) = 1 - Р(
) = 1 - 7/165 = 158/165.Ответ: Р(А1) = 46/495, Р(А2) = 1/3, Р(А3) = 158/165.
Задача 1.7. В урне содержится 5 черных и белых шаров, к ним добавляют 4 белых шара. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все возможные предложения о первоначальном содержании урны равновозможные.
Здесь имеют место два вида испытаний: сначала задается первоначальное содержимое урны и затем случайным образом вынимается 3 шар, причем результат второго испытания зависит от результата первого. Поэтому используется формула полной вероятности.
событие А - случайно вынимают 3 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, каким был первоначальный состав шаров в урне.
Рассмотрим события:
В1 - в урне было 5 белых шара;
В2 - в урне было 4 белых и 1 черный шар;
В3 - в урне было 3 белых и 2 черных шара;
В4 - в урне был 2 белый и 3 черных шара;
В5 - в урне было 1 белый и 4 черных шара.
В6 - в урне было 5 черных шара;
Общее число элементарных исходов
Найдем условные вероятности события А при различных условиях.
Р(А/В1) = 1. 
Р(А/В2) = 56/84 = 2/3. 
Р(А/В3) = 35/84 = 5/12. 
Р(А/В4) = 5/21. 
Р(А/В5) = 5/42. 
Р(А/В6) = 1/21.Р(А) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.
Ответ: Р(А) = 209/504.
Задача 1.9. В пирамиде стоят 11 винтовок, их них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 87/100, а стреляя из винтовки без оптического прицела, - с вероятностью 52/100. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.
Учитывая, что винтовки выбираются по одной, получаем
и соответственно 
(для В1) и 
(для В2); таким образом Р(В1) = 3/ 11, Р(В2) = 8/11.Условные вероятности заданы в условии задачи:
Р(А/В1) = 0,87 и Р(А.В2) = 0,52.
Следовательно,
Р(А) = 0,87 * 3/11 + 0,52 * 8/11 = 0,615.
Ответ: Р(А) =0,615.
Задача 1.10. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве М1=13, М2=12, и М3=17 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно 0,91, 0,82, и 0,77. Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом - изготовителем.