Исследование экономико-математических моделей (стр. 1 из 3)
Задание 1
Значения цены, спроса и предложения на определенный вид товара приведены в таблице:
| ЦенаХ | СпросУ1 | ПредложениеУ2 |
| 8,6 | 2220 | 1101,93 |
| 9,6 | 1825 | 1102,93 |
| 10,6 | 1869 | 1252,93 |
| 11,6 | 1625 | 1286,93 |
| 12,6 | 1375 | 1328,93 |
| 13,6 | 1377 | 1411,93 |
| 14,6 | 1145 | 1573,93 |
| 15,6 | 1045 | 1620,93 |
| 16,6 | 1005 | 1748,93 |
| 17,6 | 1025 | 1838,93 |
| 18,6 | 795 | 1906,93 |
На основе статистических данных оценить параметры регрессии спроса и предложения на цену, если допустит, что стохастическая зависимость между спросом и ценой можно описать квадратичной функцией, а предложением и ценой – линейной функцией.
Оценить адекватность эконометрических моделей статистическим данным с надежностью Р=0.95 и найти:
– точку равновесной цены: 1) графически, 2) аналитически, развязав уравнение У1=У2, 3) с помощью «паутинообразной» модели с точностью 0,01, предварительно проверив сходимость этого итерационного метода; 4) с помощью процедуры «Подбор параметра». Сравнить результаты, полученные всеми способами;
– значение коэффициента эластичности спроса и предложения в точке равновесия.
Построить доверительные зоны регрессий спроса и предложения.
Сделать выводы.
| Супермаркет | Х | Y | X? | Y? | XY |
| 20 | 340 | 3 | 115600 | 9 | 1020 |
| ? | 5084 | 38 | 1349608 | 77,3 | 9899,9 |
| ?/n | 254,2 | 1,9 | 67460,4 | 3,865 | 495 |
Начнем с того, что найдем уравнение регрессии. Для этого найдем:
Значение дисперсии.
Для этого нам понадобится средняя арифметическая простая, которая находится по формуле: Хср=?Х/n Хср= 149,6/11=13,6?2ср=??2/n?ср= 16175,27/11=1470,5
Теперь найдем значение дисперсии по формуле Dх?=?Х?/n – (х)? Dy?=?y?/n – (y)
Dх?= 194,96–13,6?=10 D?y=2236173,39–1470,48?=73865,5
S=vD Sx=v10=3,2 Sy=v73865,5=271,8
Теперь найдем коэффициент корреляции (вон показывает степень тесноты связи Х и?). Численное значение коэффициента корреляции количественно измеряет тесноту корреляционной связи. Чем больше коэффициент корреляции тем плотнее точки корреляционного поля прилегают к линии регрессии. Знак коэффициента корреляции отражает характер влияния Х и?.
r=?X?/n-?ср*Xср/Sx*Sy r=0,99
В нашем случае очень сильная теснота корреляционной связи между ценой и предложением. Это значит, что 99% изменения предложения объясняется изменением цены.
Теперь вычислим коэффициент регрессии.
Вон определяется по формуле: b1= r*(Sy/Sx) b1=0,99* (271,8/3,2)=85,182
B0=?ср-b*Xср b0=1470,5–85,182*13,6=312,01
Уравнение регрессии будет иметь следующий вид:
У=b1х+b0=85,182x + 312,01
Строим точечную диаграмму по выходным данным Y( ). С помощью функции «Добавит линию тренда» строим линейный тип линии тренда (рис. 3.1). При этом включаем опцию вывода уравнения линии тренда и коэффициента детерминации R2.
Рис. 1.1.
Получили линейное уравнение регрессии
У=b1х+b0=85,182x + 312,01.
Уравнение линейной регрессии появилось на графике таким способом:
- После построения в MS Excel обычной точечной диаграммы за диапазонами Х и В с помощью мастера диаграмм (вкладка Стандартные / Точечная), выделяем ряд построенных точек правой кнопкой мыши, и в появившемся контекстном меню изберем команду (Добавит линию тренда).
- Тип линии тренда выберем Линейная, а на вкладке Параметры ставим галочке напротив полей Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R2 (то есть коэффициент детерминации R2). Таким образом, построен точечный график функции В(Х) в виде корреляционного поля и к нему прибавлена линия линейного тренда. Дальше в работе избирал соответствующий тип линии тренда аналогично выстраиваются нелинейные тренды.
Выборочный коэффициент детерминации равняется R2 = 0,99813, а коэффициент корреляции составляет r = v0,9813 = 0,9911.
С помощью функции СРЗНАЧ определим средние значения величин: Xcp = 13,6, Y2cp = 1470,5. Тогда определим средний коэффициент эластичности для этой модели:
, A = 85,182*13,6/1470,5 = 0,78то есть при росте показателя на 1% показатель Y растет на 0,78%.
Вычислим теоретические значения зависимой переменной. Средняя погрешность аппроксимации MAPE, которая характеризует точность аппроксимации выборки построенным уравнениям регрессии находится по формуле
MAPE =.
Объясним, как рассчитывается средняя погрешность аппроксимации MAPE при построении уравнения линейной регрессии (таблица 3.1).
Таблица 3.1
| B | C | D | E | F |
| 1 | Y2 | X | Y^ | 100*|Y-Y^|/Y |
| 2 | 1101,93 | 8,6 | 1044,570 | 5,21 |
| 3 | 1102,93 | 9,6 | 1129,752 | 2,43 |
| 4 | 1252,93 | 10,6 | 1214,933 | 3,03 |
| 5 | 1286,93 | 11,6 | 1300,115 | 1,02 |
| 6 | 1328,93 | 12,6 | 1385,297 | 4,24 |
| 7 | 1411,93 | 13,6 | 1470,479 | 4,15 |
| 8 | 1573,93 | 14,6 | 1555,661 | 1,16 |
| 9 | 1620,93 | 15,6 | 1640,842 | 1,23 |
| 10 | 1748,93 | 16,6 | 1726,024 | 1,31 |
| 11 | 1838,93 | 17,6 | 1811,206 | 1,51 |
| 12 | 1906,93 | 18,6 | 1896,388 | 0,55 |
| 13 | 1470,479 | 13,6 | MAPE= | 2,35 |
Столбец Е (Y^) рассчитывается путем подставления соответствующего Хt из диапазона С2:С13 то есть (0,65:0,89) в формулу линейной регрессии У=b1х+b0=85,182x + 312,01. То есть Y^ – это точки, что принадлежат линии тренда (точки на прямой, которая является линией тренда). Диапазон F2:F13 рассчитывается соответственно за формулой 100*|Y-Y^|/Y – это значения, которые стоят под знаком?, а следу значения MAPE – это среднее значение столбца диапазона F2:F13. Для выразительности наведем таблицу 3.1 в режиме формул (таблица 3.2).
Таблица 3.2
Таким образом, используя функции Excel, получим, что для этой регрессии MAPE = 2,35% – значение в амбарчике H13. Дальше, при расчете MAPE нелинейной функции регрессии будем использовать данный алгоритм.
Проверим линейную модель на адекватность с помощью критерия Фишера. Определим наблюдаемое значение критерия
.Табличное значение критерия при надежности Р=0,95 и степенях свободы k1 = 1, k2 = n – 2 = 9 равняется 5,12, поскольку наблюдаемое значение больше критического, то эта линейная модель является адекватной.
Используя t-статистику, с надежностью Р=0,95 оценим значимость коэффициента корреляции. Вычислим наблюдаемое значение t-статистики
.Табличное значение -критерия при и количества степеней свободы n – 2 = 10, tтабл = 2,26. Поскольку расчетное значение -критерію больше табличного, то линейный коэффициент корреляции является статистически значимым.
С помощью функции ЛИНЕЙН найдем стандартные погрешности параметров (вторая строка результатов): S(b0)= 53,2; S(b1)= 3,8. (Таблица 1.3)
Таблица 1.3
| ЛИНИЙ | ||
| b1, b0 | 85,18181818 | 312,006061 |
| S1, S0 | 3,809489866 | 53,1911746 |
| 0,982317878 | 39,9542668 | |
| 499,9886736 | 9 | |
| 798153,6364 | 14367,0909 | |
Вычислим t-статистики:
; 
.Поскольку первое и второе значение больше табличного, то параметры уравнения регрессии есть значимыми с надежностью Р=0,95.
Построим квадратичную линию регрессии (квадратичный тренд), возведем расчеты к вспомогательной таблице 1.4.
Таблица 1.4
| Цена | Спрос | ||||||
| N | Х | У1 | t^2 | t^3 | t^4 | yt | Y*t^2 |
| 1 | 8,6 | 2220 | 74,0 | 636,1 | 5470,08 | 19092,00 | 164191,20 |
| 2 | 9,6 | 1825 | 92,2 | 884,7 | 8493,47 | 17520,00 | 168192,00 |
| 3 | 10,6 | 1869 | 112,4 | 1191,0 | 12624,77 | 19811,40 | 210000,84 |
| 4 | 11,6 | 1625 | 134,6 | 1560,9 | 18106,39 | 18850,00 | 218660,00 |
| 5 | 12,6 | 1375 | 158,8 | 2000,4 | 25204,74 | 17325,00 | 218295,00 |
| 6 | 13,6 | 1377 | 185,0 | 2515,5 | 34210,20 | 18727,20 | 254689,92 |
| 7 | 14,6 | 1145 | 213,2 | 3112,1 | 45437,19 | 16717,00 | 244068,20 |
| 8 | 15,6 | 1045 | 243,4 | 3796,4 | 59224,09 | 16302,00 | 254311,20 |
| 9 | 16,6 | 1005 | 275,6 | 4574,3 | 75933,31 | 16683,00 | 276937,80 |
| 10 | 17,6 | 1025 | 309,8 | 5451,8 | 95951,26 | 18040,00 | 317504,00 |
| 11 | 18,6 | 795 | 346,0 | 6434,9 | 119688,32 | 14787,00 | 275038,20 |
| ? | 149,6 | 15306,0 | 2144,6 | 32158,0 | 500343,8 | 193854,6 | 2601888,4 |
По данным таблицы система имеет вид:
Развязав эту систему методом Гауса, одержимо такие значения коэффициентов кривой тренда: a0 = 103,167; a1 = 0,919; a2 = 0,0045.
Таким образом, уравнение параболы, которая является моделью тренда, имеет вид:
Y1x = 4583,9 – 351,37*x + 4583,9*x2
Построим оба ряду на одном корреляционном поле (рис. 1.2)
Рис. 1.2.
Коэффициент детерминации очень большой 0,9696 – связь очень сильная. Коэффициент кореляции также очень большой 0,9847 – модель адекватная.
Найдем точку равновесной цены.
Графически – Х = 12,9; В = 1409.
Паутинообразным методом: Х = 12,871; В = 1408,40. (рис. 1.3):
Рис. 1.3.
Методом Поиска решения (рис. 1.4, рис. 1.5):
Рис. 1.4.
| Поиск решения | |||
| b | b1 | b0 | |
| 8,1364 | -351,37 | 4583,9 | 1408,73517 |
| 0 | 85,182 | 312,01 | 1408,73517 |
| 12,87508118 | 12,87508 | 0,0000000 | Целевой амбарчик |
| Зминюеми амбарчика | |||
Рис. 1.5.