Векторная алгебра 2 (стр. 5 из 7)
.Вектор
( 
– начало координат) называется радиус-вектором точки M. Координатами 
точки 
в пространстве называются проекции её радиуса-вектора 
на координатные оси , т.е. координаты вектора совпадают с координатами точки M 
.Заметим, что радиус-вектор точки является связанным вектором, так как его начало всегда совпадает с началом координат.
Пусть
и 
– точки пространства. Найдем координаты вектора 
. По правилу сложения векторов имеем 
, 
. 
Рис. 5
Таким образом, проекции вектора на координатные оси равны разностям соответствующих координат конца и начала вектора.
Теперь мы можем определить расстояние между двумя точками пространства как длину соответствующего вектора
Вспомним основные теоремы о проекциях. Пусть даны два вектора
, 
и скаляр 
. Тогда из свойств проекций вектора на ось следует 
Пусть
. Проектируя это равенство на оси координат, получим 
, 
, 
. Следовательно, одноимённые координаты у этих векторов пропорциональны 
.Это условие коллинеарности векторов в координатной форме.
Косинусы углов, которые вектор
образует с осями координат, называются направляющими косинусами вектора . 
,где
– угол между вектором и осью 
. 
; 
; 
,где
и 
– углы между вектором и осями 
, 
и 
соответственно. 
,таким образом,
. §6. Скалярное произведение двух векторов
Определение.
Скалярным произведением двух векторов
и 
называется произведение их модулей на косинус угла между ними (т.е. число или скаляр): 
. 
Свойства скалярного произведения двух векторов:
1) Из определения следует переместительное свойство
;2) Скалярное произведение равно нулю, т.е.
или 
в двух следующих случаях:
а)
или 
б)
(ортогональны)Таким образом, равенство нулю скалярного произведения двух векторов является необходимым и достаточным условием их перпендикулярности (или ортогональности)
.3) Рассмотрим скалярное произведение двух коллинеарных векторов.
Если
, то 
. Если же 
, то мы имеем скалярное произведение вектора самого на себя 
.Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом и обозначается
.4) Распределительное свойство
.Действительно, заметим, что
.Тогда
5) Если
– скаляр, то 
.6) Непосредственно из определения операции скалярного умножения векторов следуют формулы
; 
,7) Для базисных векторов
справедливы равенства: 
; 
; 
; 
.8) Найдём теперь выражение для скалярного произведения в координатной форме.
Пусть
, 
. Скалярное произведение