Сходимость рядов (стр. 1 из 2)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9

ВАРИАНТ 9.3.

Найти область сходимости указанных рядов

9.3.1.

а)

По признаку Лейбница для знакопеременных рядов

ряд сходится условно (соответствующий ряд Дирихле расходиться)

.

б)

Отсюда следует, что при

ряд сходится, т.е. при . При ряд расходится.

Рассмотрим случай

Для данного ряда выполняется теорема Лейбница для знакопеременных рядов

Ряд сходится условно, т.к. ряд

При

аналогично получим ряд , ряд сходится условно.

Ответ:

9.3.2.

а)

. По признаку Даламбера ряд сходится, если .

Ряд будет сходится при

Первый случай

или

В промежутке

ряд сходится.

Второй случай

В промежутке 1<x<l ряд сходится. Объединяем интервалы и получим

. Рассмотрим концы интервала.

При x=1 получим ряд

, т.е. ряд вида — -1+1-1+1-1+…

Данный ряд расходится, т.к. его сумма имеет два различных предела (колеблющийся ряд).

При

получим ряд т.е. ряд вида 1+1+1+…; ряд расходится, т.к.

б)

Ряд будет сходиться при

.

1)

в интервале

ряд сходится.

2)

в интервале 3<x<8 ряд сходится.

Общий интервал сходимости –2<x<8.

На концах интервала х=-2, имеем ряд:

— расходящийся гармонический ряд.

в п.9.3.1 б) показано, что ряд сходится условно.

Ответ: (-2,8]

9.3.3.

а)

Ряд сходится при условии

1)

Решим неравенство:

корней нет, следовательно:

— всегда.

Ветви параболы направлены вверх, получаем два интервала:

Здесь ряд сходится.

Исследуем концы интервалов:

1)

. Получаем ряд: . Ряд расходится, т.к. все его члены не меньше расходящегося гармонического ряда .

2)

б)

.

Ряд сходится при

.

1)

интервал сходимости .

2)

интервал сходимости .

Исследуем границы интервала.

1)

По теореме Лейбница ряд сходится, причем условно, т.к. ряд

— расходится.

2)

.

Сравним с рядом

по второму признаку сравнения

расходится, то расходится и ряд

.

3.9.4.

а)

Ряд сходится при

1)

тогда

корней нет,

.

Решаем неравенство:

.

Решаем полученное неравенство:

В промежутке (1,3) ряд сходится.

На концах интервала имеем:

1)

Ряд расходится, т.к.

.

2)

б)

Ряд сходится при условии

или

Интервал сходимости

.

На концах интервала.

1)

— ряд расходится, т.к. расходится ряд

.

2)

Ряд, как предыдущий, но все члены отрицательны.

9.3.5.

а)

Ряд сходится при условии

.

1)

2)

Исследуем концы интервала:

1)

2)

б)

Ряд сходится при условии

откуда