| f (x) = | 2√f (xІ) 1 + f (xІ) | . |
Конечно, не всякая функция удовлетворяет какому-нибудь модулярному уравнению. Но существует класс функций, обладающих этим свойством. Они называются модулярными функциями. Кроме того, модулярное уравнение выполняется только при определённых значениях x, а именно тех, которые являются «решениями» данного уравнения.
Рамануджан не имел себе равных в умении «откапывать» решения модулярных уравнений, удовлетворяющие также некоторым другим условиям. Такие решения называются сингулярными. Оказывается, поиски сингулярных решений в некоторых случаях приводят к числам, натуральные логарифмы которых совпадают с π (умноженным на константу) в поразительно большом числе десятичных знаков. Виртуозно пользуясь этим общим приемом, Рамануджан построил для приближения π много замечательных бесконечных рядов и одночленных формул. Некоторые из них приведены в его единственной формальной статье на эту тему «Модулярные уравнения и приближения к π», опубликованной в 1914 г.
Своими попытками вычислять π Рамануджан отдал дань древней традиции. Уже в самых ранних индо-европейских цивилизациях было известно, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса, а длина окружности пропорциональна её диаметру. Правда, не совсем ясно, когда впервые было осознано, что отношение длины любой окружности к её диаметру и отношение площади любого круга к квадрату его радиуса равны одной и той же постоянной, которую принято обозначать символом π. (Сам этот символ был введен гораздо позднее – в 1706 г. английским математиком-любителем Уильямом Джонсоном и стал широко употребляться благодаря поддержке крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера.)
Величайший математик древности Архимед из Сиракуз строго доказал равенство двух указанных отношений в своем трактате «Измерение круга». Он вычислил и приближённое значение π, причём на основе математических принципов, а не прямых измерений длины окружности, площади круга и диаметра. Архимед вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники (т.е. многоугольники со сторонами одинаковой длины). Диаметр окружности принимался за единицу, а периметры описанного и вписанного многоугольников рассматривались как приближения соответственно сверху и снизу к длине окружности, которая в данном случае численно совпадала с π (см. вкладку [1]).
Этот метод приближения π не был новшеством: ещё раньше вписывать многоугольники с возрастающим числом сторон предложил Антифон, а его современник Брисон из Гераклеи дополнительно ввёл описанные многоугольники. Новшеством был выполненный Архимедом правильный расчет результата удвоения числа сторон как вписанного, так и описанного многоугольников. Тем самым он разработал процедуру, повторение которой достаточное число раз в принципе позволяет вычислить π с любым количеством знаков. (Следует заметить, что периметр правильного многоугольника легко вычисляется с помощью простых тригонометрических функций: синуса, косинуса и тангенса, однако во времена Архимеда, т.е. в III в. до н.э., эти функции ещё не были полностью изучены и вычисление периметров было далеко не таким легким делом, как может сейчас показаться.
Архимед начал с вписанного и описанного шестиугольников и получил неравенство 3 < π < 2Ö3. Четырежды удвоив число сторон (т.е. доведя его до 96), он сузил интервал для π: 310/71 < π < 31/7 и получил приближённое значение p » 3,14. Есть некоторые основания предполагать, что дошедший до нас текст трактата «Измерение круга» представляет собой часть более обширного труда, в котором Архимед объясняет, как, начав с десятиугольников и применив шесть раз операцию удвоения, он получил приближение с пятью знаками: p » 3,1416. Сам по себе метод Архимеда прост, но при отсутствии готовых таблиц тригонометрических функций требует извлечения корней; выполнение этой операции вручную занимает довольно много времени. Кроме того, приближения сходятся к π очень медленно: с каждой итерацией погрешность уменьшается лишь вчетверо. Тем не менее до середины XVII в. все попытки европейских учёных вычислить π так или иначе опирались на этот метод. Голландский математик XVI в. Лудольф ван Цейлен посвятил вычислению π большую часть своей научной деятельности. К концу жизни он нашёл приближение с 32 десятичными знаками, вычислив периметры вписанного и описанного многоугольников с 262 (т.е. порядка 1018) сторонами. Говорят, полученное им значение π, которое в некоторых европейских странах называют в его честь числом Лудольфа, высечено на его надгробном камне.
| Периметр описанного многоугольника Pc = n tg(180°/n) | Периметр вписанного многоугольника Pi = n sin(180°/n) | |
| где n – число сторон | ||
| n = 6 | ||
| Pc = 3,464... | Pi = 3,000... | |
| n = 12 | ||
| Pc = 3,215... | Pi = 3,105... | |
| n = 24 | ||
| Pc = 3,159... | Pi = 3,132... | |
| Метод Архимеда приближения к π состоял в том, что в окружность диаметра 1 вписывались и около неё описывались правильные многоугольники. Периметры вписанных многоугольников служат соответственно нижними и верхними границами для значения π. Для нахождения периметров можно, как здесь показано, воспользоваться синусами и тангенсами, однако Архимеду пришлось изобретать эквивалентные соотношения на основе геометрических построений. С помощью 96-угольника он установил, что π больше, чем 310/71, и меньше, чем 31/7. | ||
Развитие анализа в основном трудами Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница позволило намного ускорить вычисление приближённых значений π. В анализе существуют эффективные методы нахождения для функции её производной и интеграла. С помощью этих методов можно показать, что обратные тригонометрические функции представляются в виде интегралов от квадратичных функций, связанных с окружностью.
Связь между тригонометрическими функциями и алгебраическими выражениями станет понятней, если рассмотреть окружность единичного радиуса с центром в начале координат на декартовой плоскости х-у. Уравнение этой окружности (её площадь численно совпадает с π) имеет вид х2 + y2 = 1; оно получается по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой 1. Синус и косинус угла между положительной полуосью х и радиусом, проведённым в любую точку окружности, равны соответственно координатам y и x этой точки, а его тангенс равен y/x.
Однако для вычисления π гораздо важнее тот факт, что обратную тригонометрическую функцию можно разложить в ряд, члены которого выражаются через её производные. Сам Ньютон нашёл 15 знаков π, суммируя несколько первых членов ряда для арксинуса. Позднее он писал одному из коллег: «Мне стыдно сказать вам, до скольких знаков я выполнил эти вычисления, не занимаясь больше ничем».
В 1674 г. Лейбниц вывел формулу 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + ... = π/4 (арктангенс единицы). (Общий ряд для арктангенса был открыт в 1671 г. шотландским математиком Джеймсом Грегори, хотя аналогичные выражения, по-видимому, были получены в Индии на несколько столетий раньше.) Погрешность этого приближения, определяемая как разность между суммой n членов ряда и точным значением π/4, приблизительно равна (n+1)-му члену. Так как знаменатель каждого следующего слагаемого возрастает лишь на два, то, чтобы получить приближение с точностью до двух знаков, приходится суммировать около 50 членов, с точностью до трех знаков – около 500 и т. д. Таким образом, этот ряд практически непригоден для нахождения более чем нескольких первых знаков π.
Спасла положение формула Джона Мэчина: π/4 = 4 arctg(1/5) – arctg(1/239). Поскольку ряд для арктангенса при заданном значении переменной сходится тем быстрее, чем меньше это значение, благодаря этой формуле вычисления сильно упростились. Пользуясь своей формулой и рядом для арктангенса, Мэчин в 1706 г. вычислил 100 знаков π. Его метод оказался столь мощным, что с начала XVIII в. и до самого недавнего времени все вычисления π с большим числом знаков были выполнены с помощью тех или иных вариантов этого метода.
| ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВАЛЛИСА (1665) |
РЯД ГРЕГОРИ (1671)
| ¥ | ||||||||||
| π 4 | = 1 – | 1 3 | + | 1 5 | – | 1 7 | + ... = | å | (–1)n 2n + 1 | . |
| n=0 |
ФОРМУЛА МЭЧИНА (1706)
| ¥ | |||||
| π 4 | = 4 arctg(1/5) – arctg(1/239), где arctg x = | å | (–1)n | x2n+1 2n + 1 | . |
| n=0 |
РАМАНУДЖАН (1914)
| ¥ | |||||
| 1 π | = | 2Ö2 9 801 | å | (4n)! [1103 + 26 390n] (n!)4 3964n | . |
| n=0 |
ДЖ.БОРВЕЙН и П.БОРВЕЙН (1987)