Многоугольники. Площади многоугольников в школьном курсе математики (стр. 3 из 6)

Пусть для определенности

Подберем рациональные числа α₁ и α₂ так, чтобы α₁< а < α₂ и α₂ – α₁ < ε.

Ясно, что площадь данного квадрата

заключена между площадью квадрата со стороной α₁ и площадью квадрата со стороной α₂ (рис. 6).

Согласно сказанному α₁² < S < α₂² или α₁ <

< α₂. Отсюда, учитывая, что α₁< а < α₂, получаем: - а < α₂ – α₁, т.е. ε < α₂ – α₁. Это неравенство противоречит неравенству α₂ – α₁ < ε, следовательно, наше предположение неверно, т.е. S=a² ●

2.2 Площадь прямоугольника

Условимся одну из сторон параллелограмма, в частности прямоугольника, называть основанием, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, высотой параллелограмма.

Теорема 3. Площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту.

○ Пусть S – площадь прямоугольника

(рис. 7а). Примем сторону AB за основание, а AD – за высоту и докажем, что S = ab, где a = AB, b = AD.

Рассмотрим квадрат

со стороной a+ b. На стороне GH возьмем точку N так, чтобы GH = b и проведем через точки M и N прямые, перпендикулярные соответственно к сторонам GH и GL (рис. 7б). По лемме 2 эти прямые разлагают квадрат на четыре прямоугольника, которые на рисунке 7б обозначены через F₁, F₂, F₃, F₄.

Прямоугольники F₁, F₃ равны прямоугольнику

, поэтому площадь каждого из них равна S. Четырехугольники F₂ и F₄ являются квадратами со сторонами b и a соответственно, поэтому по теореме 2 (пункт 2.1) их площади равны b² и a². По той же теореме, площадь квадрата равна (a + b)². По условию А₂ измерения площадей площадь квадрата равна сумме площадей прямоугольников F₁, F₂, F₃, F₄. Отсюда получаем (a + b)²= S + b² + S + a², т.е. S = ab. ●

Следствие. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов S =

ab.

2.3 Площадь треугольника

Одну из сторон треугольника часто называют основанием. Если основание выбрано, то под «высотой» подразумевают ту из высот треугольника, которая проведена к основанию.

Теорема 4. Площадь треугольника равна половине произведение его основания на высоту.

○ Пусть S – площадь треугольника ABC (рис. 8). Примем сторону AB за основание треугольника и проведем высоту СН. Докажем, что

.

Если точка Н совпадает с одной из точек А или В (рис. 8а), то утверждение теоремы непосредственно из следствия теоремы 3, поэтому допустим, что А, В и Н - попарно различные точки. Возможны два случая:

а) Точка Н лежит на отрезке АВ (рис. 8б). В этом случае высота СН разлагает треугольник ABC на два прямоугольных треугольника АНС и ВНС, поэтому S = S(АНС) + S(ВСН). Используя следствие теоремы 3, получим

б) Точка Н лежит вне отрезка АВ. Пусть, например, В – А – Н (рис. 8в). В этом случае отрезок АС разлагает треугольник BCН на два треугольника ABC и АСН, поэтому S(BCH) = S(АВС) + S(ACH). Аналогично предыдущему получаем:

●

Следствие. Если высоты двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований.

Теорема 5. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

○ Пусть S – площадь треугольника ABC, AB=с, АС=b, CH=h, где CH - высота треугольника. Докажем, что

Если

= 90°, то формула (2.4) вытекает из следствия теоремы 3, поэтому рассмотрим два случая:

а) Угол А – острый (рис. 8б). В прямоугольном треугольнике АСН

. Поэтому .

б) Угол А – тупой (рис. 8в). В прямоугольном треугольнике АСН

. Следовательно, ●

Следствие. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.

Площадь треугольника можно вычислить, зная длины сторон треугольника a,b,c, по формуле

, где . Эта формула называется формулой Герона.

Также треугольник со сторонами a,b,c и площадью S имеет следующие свойства:

а)

, где р – полупериметр треугольника;

б)

.

2.4 Площадь параллелограмма

Теорема 6. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

○ Пусть S – площадь параллелограмма ABCD. Примем сторону АВ за основание параллелограмма и проведем высоту DH. Докажем, что (рис. 9)

Диагональ BD разлагает параллелограмм на два равных треугольника ABD и CDB. Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников. По условиям А₁ и А₂ измерения площадей (п.1 §1) имеем:

. Отсюда, используя теорему 4, получаем: .●

Докажем еще одну теорему о площади параллелограмма, которой часто пользуются при решении задач.

Теорема 7. Площадь параллелограмма равна: а) произведению смежных сторон на синус угла между ними; б) половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

○ Пусть S – площадь параллелограмма ABCD, диагонали AC и BD которого пересекаются в точке О.

а) Треугольники ABD и CBD имеют равные основания AB и CD, и равные высоты, поэтому их площади равны (рис. 9). Следовательно,

. По теореме 5 площадь треугольника ABD равна , следовательно, .

б) Треугольники AOB, AOD, BOC и COD имеют равные площади, так как любые два из этих треугольников, которые имеют общую сторону, имеют равные основания и общую высоту, следовательно,

. По теореме 5 , поэтому .●

2.5 Площадь трапеции

Условимся высотой трапеции называть перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Теорема 8. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

○ Пусть S – площадь трапеции ABCD с основаниями AD и DC и высотой ВН. (рис. 10). Докажем, что

. Диагональ BD разлагает трапецию на два треугольника и . Примем отрезки АD и ВС за основания этих треугольников, тогда ВН и DH₁ – их высоты. Так как отрезки ВН и DH₁ являются высотами трапеции ABCD, то BH = DH₁.