Смекни!
smekni.com

Топологическая определяемость верхних полурешёток (стр. 2 из 6)

На решётке можно рассматривать две бинарные операции:

- сложение и

- произведение

Эти операции обладают следующими свойствами:

1.

,
идемпотентность

2.

,
коммутативность

3.

,

ассоциативность

4.

,

законы поглощения

Теорема. Пусть

- множество с двумя бинарными операциями
, обладающими свойствами (1) – (4). Тогда отношение
(или
) является порядком на
, а возникающее упорядоченное множество оказывается решёткой, причём:

Доказательство.

Рефлексивность отношения

вытекает из свойства (1). Заметим, что оно является следствием свойства (4):

Если

и
, то есть
и
, то в силу свойства (2), получим
. Это означает, что отношение
антисимметрично.

Если

и
, то применяя свойство (3), получим:
, что доказывает транзитивность отношения
.

Применяя свойства (3), (1), (2), получим:

,

.

Следовательно,

и

Если

и
, то используя свойства (1) – (3), имеем:

, т.е.

По определению точней верхней грани убедимся, что

Из свойств (2), (4) вытекает, что

и

Если

и
, то по свойствам (3), (4) получим:

Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что

, т.е.

Таким образом,

. ■

Пусть

решётка, тогда её наибольший элемент
характеризуется одним из свойств:

1.

2.

.

Аналогично характеризуется наименьший элемент

:

1.

2.

.

3. Дистрибутивные решётки.

Определение: Решётка

называется дистрибутивной, если для
выполняется:

1.

2.

В любой решётке тождества (1) и (2) равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [1], стр. 24.

Теорема: Решётка

с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида

Доказательство этого факта можно найти в книге [2].

Далее под словом “решётка” понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0 и 1 (причём

).

Определение: Непустое множество

называется идеалом в решётке
, если выполняются условия:

1.

2.

Определение: Идеал

в решётке
называется простым, если

или
.

Идеал, порождённый множеством Н (т.е. наименьший идеал, содержащий H), будет обозначаться (Н]. Если Н = {a}, то вместо ({a}] будем писать (a] и называть (a] главным идеалом.

Обозначим через I(L) множество всех идеалов решётки L. I(L) будем называть решёткой идеалов.

Определение: Решётки

и
называются изоморфными (обозначение:
), если существует взаимно однозначное отображение
, называемое изоморфизмом, множества
на множество
, такое, что

,

.

4. Топологические пространства.

Определение: Топологическое пространство – это непустое множество

с некоторой системой
выделенных его подмножеств, которая удовлетворяет аксиомам: