Топологическая определяемость верхних полурешёток (стр. 3 из 6)
1. Пустое множество и само пространство
принадлежит системе 
: 
.2. Пересечение любого конечного числа множеств из
принадлежит , т.е. 
.3. Объединение любого семейства множеств из
принадлежит , т.е. 
.Таким образом, топологическое пространство – это пара <
, >, где - такое множество подмножеств в , что 
и замкнуто относительно конечных пересечений и произвольных объединений. Множества из называют открытыми, а их дополнения в замкнутыми.Определение: Пространство называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение: Подмножество пространства называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение: Топологическое пространство называется
- пространством, если для любых двух различных его точек существует открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек. Глава 2.
1. Верхние полурешётки.
Определение: Ч.у. множество называется верхней полурешёткой, если sup{a,b} существует для любых элементов a и b.
Определение: Непустое множество I верхней полурешётки L называется идеалом, если для любых
включение 
имеет место тогда и только тогда, когда 
.
Определение: Верхняя полурешётка
называется дистрибутивной, если неравенство 
≤ 
( , 
, 
L) влечёт за собой существование элементов 
, таких, что 
, 
, и = 
.(рис.1). Заметим, что элементы 
и 
не обязательно единственны.
Некоторые простейшие свойства дистрибутивной верхней полурешётки даёт:
Лемма 1:
(*). Если < , 
> - произвольная полурешётка, то верхняя полурешётка 
дистрибутивна тогда и только тогда, когда решётка дистрибутивна.
(**). Если верхняя полурешётка 
дистрибутивна, то для любых 
существует элемент 
, такой, что 
и 
. Следовательно, множество 
является решёткой.
(***). Верхняя полурешётка дистрибутивна тогда и только тогда, когда множество является дистрибутивной решёткой.
Доказательство.
(*).
< , > - дистрибутивна и 
, то для элементов 
, 
, справедливо равенство 
: 
значит, полурешётка <
, 
> - дистрибутивна.
< , > - дистрибутивна. Пусть решётка содержит диамант или пентагон (рис.2).
1) Пусть решётка
содержит пентагон, 
. Нужно найти такие элементы 
и 
, чтобы выполнялось равенство . Но множество элементов меньших b или c состоит из элементов {0,b,c} и их нижняя граница не даст a. Получили противоречие с тем, что < , 
> - дистрибутивна. Значит, наше предположение неверно и решётка не содержит пентагона.2) Пусть решётка
содержит диамант, . Аналогично, множество элементов меньших b или c состоит из элементов {0,b,c}, их нижняя граница не даст a. Значит, решётка не содержит диаманта.Можно сделать вывод, что решётка
дистрибутивна.(**). Имеем
, поэтому 
, где 
(по определению дистрибутивной полурешётки). Кроме того, 
является нижней границей элементов 
и 
.Рассмотрим идеалы, содержащие элемент
и - 
и 
. Тогда 
Ø ,т.к. 
, нижняя граница элементов a и b, содержится там.