Топологическая определяемость верхних полурешёток (стр. 5 из 6)

Доказательство.

Пусть X – множество всех идеалов в L,содержащих I и не пересекающихся с D. Покажем, что X удовлетворяет лемме Цорна.

Пусть C – произвольная цепь в X и

Если , то для некоторых Пусть для определённости . Тогда и , т.к. - идеал. Поэтому . Обратно, пусть , тогда , для некоторого Получаем , откуда .

Доказали, что M – идеал, очевидно, содержащий I и не пересекающийся с D, т.е.

. По лемме Цорна X обладает максимальным элементом, т.е. максимальным идеалом P среди содержащих I и не пересекающихся с D.

Покажем, что P – простой. Для этого достаточно доказать, что L\P является коидеалом. Пусть

L\P и . Поскольку , то , иначе в противном случае по определению идеала. Следовательно, . Если , то и пересекающихся с D в силу максимальности P. Получаем и для некоторых элементов . Существует элемент такой, что и , по определению коидеала, следовательно и для некоторых Заметим, что и не лежат в P, т.к. в противном случае .

Далее,

, поэтому для некоторых и . Как и прежде . Кроме того , поэтому - нижняя грань элементов a и b, не лежащая в P. ■

В дальнейшем, через

будем обозначать дистрибутивную верхнюю полурешётку с нулём, через множество всех простых идеалов полурешётки .

Множества вида

представляют элементы полурешётки в ч.у. множестве (т.е. ). Сделаем все такие множества открытыми в некоторой топологии.

Обозначим через

топологическое пространство, определённое на множестве . Пространство SpecL будем называть стоуновым пространством полурешётки L.

Лемма 3: Для любого идеала I полурешётки L положим:

Тогда множества вида

исчерпывают все открытые множества в стоуновом пространстве SpecL.

Доказательство.

Нужно проверить выполнение аксиом топологического пространства.

1) Рассмотрим идеал, образованный 0. Тогда

,

но 0 лежит в любом идеале, а значит

.

2) Возьмём произвольные идеалы

и полурешётки и рассмотрим

Пусть

. Тогда существуют элементы a

и Отсюда следует, что , где L\P – коидеал. По определению коидеала существует элемент d

такой, что и , значит, . Т.к. , следовательно, . Получаем, что .

Обратное включение очевидно.

2) Пусть

- произвольное семейство идеалов. Через обозначим множество всех точных верхних граней конечного числа элементов, являющихся представителями семейства . Покажем, что - идеал. Пусть , тогда , где для некоторого идеала . Тогда лежит в идеале , следовательно, и , т.е. . Обратно очевидно.