Топологическая определяемость верхних полурешёток (стр. 6 из 6)

Доказали, что

- идеал. Теперь рассмотрим произвольное объединение.

■

Лемма 4: Подмножества вида

пространства

можно охарактеризовать как компактные открытые множества.

Доказательство.

Действительно, если семейство открытых множеств покрывает множество , т.е. , то Отсюда следует, что для некоторого конечного подмножества , поэтому . Таким образом, множество компактно.

Пусть открытое множество r(I) компактно, тогда и можно выделить конечное подпокрытие для некоторых .

Покажем, что I порождается элементом

.

Предположим, что это не так, и в идеале I найдётся элемент b не лежащий в

. Тогда [b) – коидеал, не пересекающийся с . По лемме 2 найдётся простой идеал P содержащий и не пересекающийся с [b). Получаем, , т.к. (т.е. ), но , т.к. , противоречие. Следовательно, компактным открытым множеством r(I) будет только в случае, если - главный идеал.■

Предложение 5: Пространство

является

- пространством.

Доказательство.

Рассмотрим два различных простых идеала

и Q. Хотя бы один не содержится в другом. Допустим для определённости, что . Тогда r(P) содержит Q, но не содержит P, т.е. SpecL является - пространством. ■

Теорема 6: Стоуново пространство

определяет полурешётку

с точностью до изоморфизма.

Доказательство.

Нужно показать, что две полурешётки

и изоморфны тогда и только тогда, когда пространства и гомеоморфны.

Очевидно, если решётки изоморфны, то пространства, образованные этими полурешётками будут совпадать.

Пусть и гомеоморфны ( ) и . Тогда a определяет компактное открытое множество r(a)

. Множеству r(a) соответствует компактное открытое множество , с однозначно определённым элементом по лемме 4. Таким образом получаем отображение : , при котором . Покажем, что - изоморфизм решёток. Если a,b – различные элементы из , то , следовательно, , поэтому и - инъекция.

Для произвольного

открытому множеству соответствует и очевидно , что показывает сюръективность .

Пусть a,b – произвольные элементы из

. Заметим, что . Открытому множеству при гомеоморфизме соответствует открытое множество , а соответствует . Следовательно, = . Поскольку = , то , т.е. ■

Литература.

1. Биргкоф Г. Теория решёток. – М.:Наука, 1984.

2. Гретцер Г. Общая теория решёток. – М.: Мир, 1982.

3. Чермных В.В. Полукольца. – Киров.: ВГПУ, 1997.