Метод последовательных уступок Теория принятия решений (стр. 2 из 3)

В связи с тем, что не всегда стратегия, полученная с помощью метода последовательных уступок, является эффективной, возникает и такой вопрос: обязательно ли среди множества стратегий, выделяемых этим методом, существует хотя бы одна эффективная?

В общем случае на этот вопрос положительный ответ дать нельзя, однако имеет место такое утверждение: если UÌRⁿ— множество замкнутое и ограниченное, а все К_r непрерывны, то решением S) задачи (1) служит по крайней мере одна эффективная стратегия.

Действительно, при выполнении условий этого утверждения множество U^s стратегий-решений S) оказывается непустым, замкнутым и ограниченным. Следовательно, существует точка u*ÎU^S, в которой функция

достигает наибольшего на U^s значения. Нетрудно убедиться в том, что u* эффективна.

Таким образом, при решении почти всякой прикладной многокритериальной задачи метод последовательных уступок выделяет в качестве оптимальных и эффективные стратегии. Однако необходимо отметить, что выделенные эффективные стратегии не обязаны быть эквивалентными (см. пример 1); но нетрудно проверить, что это возможно лишь при S³3.

Если нельзя гарантировать, что при решении рассматриваемой многокритериальной задачи метод последовательных уступок приводит к получению лишь эффективных стратегий (в частности, если по выполняется вышеприведенное условие единственности), то для выделения эффективной стратегии среди решений задачи S) достаточно, как показывает только что проведенное доказательство,

найти

(2)

Однако практически более удобно применять такой прием : заменить в S) критерий K_s на

,

где À — положительное число;

в результате получится задача:

(3)

Нетрудно доказать, что любая стратегия, являющаяся решением задачи (3), эффективна; более того, всякая максимизирующая последовательность, служащая решением этой задачи, также эффективна.

Смысл указанного приема заключается в том, что при достаточно малом числе À>0 для любой полученной в результате решения задачи (3) стратегии w значение критерия K_S(w) будет весьма близким к Q_s^*) и эта стратегия эффективна, в то время как при решении S) задачи (1) может быть получена стратегия и, которую выгодно заменить некоторой эффективной стратегией v>u, существенно лучшей, чем и, но одному или даже нескольким частным критериям. А поскольку величины уступок А, на практике устанавливаются приближенно, то замена Ks на K*_s при малых À>0 в силу указанной причины оказывается допустимой и оправданной.

Таким образом, понятие эффективной стратегии позволило уточнить вычислительную процедуру отыскания оптимальных стратегий методом последовательных уступок.

С другой стороны, метод последовательных уступок позволяет указать характеристическое свойство эффективных стратегий.

Теорема 1.

Для любой эффективной стратегии u* существуют такие числа D^*_r, что эту стратегию можно выделить методом последовательных уступок, т. е.
при D_r=D^*_r, r=1, 2,...,S—1, стратегия u* является единственным (с точностью до эквивалентности) решением S) задачи (1).

Теорема 1 характеризует эффективные стратегии с помощью последовательности задач (1). В частности, она показывает, что метод последовательных уступок можно использовать для построения множества эффективных стратегий.

Более того, теорема 1 позволяет исследовать и сам метод последовательных уступок. Действительно, она показывает, что при любом фиксированном расположении частных критериев, по степени относительной важности одним лишь выбором величин уступок можно обеспечить выделение любой эффективной стратегии в качестве оптимальной (так что проблема отыскания оптимальной стратегии, т. е. проблема выбора эффективной стратегии из всего множества U°, формально эквивалентна проблеме назначения надлежащих величин уступок при произвольном фиксированном упорядочении критериев).

Следовательно, для решения многокритериальной задачи нужно так ранжировать критерии, чтобы потом удобнее было выбирать величины уступок. Учитывая вышеизложенное и внимательно рассмотрев порядок назначения величин уступок, можно сделать следующий вывод: метод последовательных уступок целесообразно применять для решения тех многокритериальных задач, в которых все частные критерии естественным образом упорядочены по степени важности, причем каждый критерий настолько существенно более важен, чем последующий, что можно ограничиться учетом только попарной связи критериев и выбирать величину допустимого снижения очередного критерия с учетом поведения лишь одного следующего критерия.

Особенно удобным является случай, когда уже в результате предварительного анализа многокритериальной задачи выясняется, что можно допустить уступки лишь в пределах «инженерной» точности (6—10% от наибольшей величины критерия).

Решение многокритериальной задачи методом последовательных уступок — процедура довольно трудоемкая, даже если заранее выбраны величины всех уступок. Поэтому большой интерес представляет вопрос: можно ли при заданных D_iполучить оптимальную стратегию за один этап, сведя последовательность задач (1) к одной экстремальной задаче?

Мы можем указать лишь приближенный способ одноэтапного решения для S=2. Он основан на следующем утверждении:

Лемма 1.

Пусть множество UÌR^p замкнуто и ограничено, K₁и К₂ непрерывны на U, D₁³0 и À£D₁/M¹₂, где

(4)

Тогда для любой стратегии u*, доставляющей функции L=K₁+ÀК₂ наибольшее на U значение, справедливо неравенство Q₁-K₁(u*)£D₁ причем если K₁(u*)£ Q₁, то

Эта лемма, показывает, что если решить задачу максимизации на U функции L=K₁+ÀК₂, в которой число À назначено указанным образом, то для полученной стратегии u* (она обязательно эффективна) значение K₁(u*) будет отличаться от максимального Q₁ не более, чем на D₁, a K₂(u*) будет тем ближе к Q₂, чем точнее назначена оценка М¹₂.

Однако даже если взять число М¹₂, удовлетворяющее (4) как равенству, и положить À = D₁/M¹₂, то все равно нельзя гарантировать, что K₂(u*)=Q₂,так что рассматриваемый способ действительно является приближенным.

Пример 4. Пусть U — четверть единичного круга, лежащая в положительном квадранте: U={u: uÎR₂, u²₁+u²₂£1, u₁³0, u₂³0} K₁(u)=u₁, K₂(u)=u₂. Здесь Q₁ = l и М¹₂=1, если исходить из (4) как равенства. Примем D₁=0,2; À=0,2.

Функция u₁+ 0,2u₂ достигает максимума на Uв единственной точке

так что , однако

Пример 5. U={u: uÎR_{2 ,} 0£u₂£1, (1+d)u₂£1-u₁} где d — положительное число, K₁(u)=u₁, K₂(u)=u₂ . Используя (4) как равенство, находим: М¹₂ = 1. Положим D₁=1; À=1. Функция u₁+u₂достигает на Uмаксимума в единственной точке (1, 0). Возьмем теперь ; À=1 + e. где e— любое сколь угодно малое положительное число. Тогда при d<e функция u₁+(1+e)u₂ будет достигать максимума на U вточке (-d, 1), так

что Q₁-K₁(-d,1) = 1+d >D₁=1.

Примечание. Для решения многокритериальных задач иногда применяют метод выделения основного частного критерия. Этот метод состоит в том, что исходная многокритериальная задача сводится к задаче оптимизации по одному частному критерию К_L,который объявляется основным, или главным, при условии, что значения остальных частных критериев К_r должны быть не меньше некоторых установленных величин («требуемых» значений) b_r,т. е. к задаче

найти

(5)

причем оптимальной считается обычно всякая стратегия, являющаяся решением задачи (5).

Выделение критерия K_t в качестве основного и назначение пороговых величин b_r, для остальных частных критериев фактически означает, что все стратегии разбиваются на два класса. К одному относятся стратегии, которые удовлетворяют всем S—1 ограничениям K_r(u)³b_r;такие стратегии можно назвать допустимыми. К другому классу относятся такие стратегии, которые не удовлетворяют хотя бы одному из указаных S—1 неравенств. Наконец, среди допустимых стратегий предпочтительнее считается та, для которой значение Критерия K_l больше.

Необходимо отметить, что установившееся название — «основной», или «главный» критерий — по существу весьма условно. Действительно, критерий K_l максимизируется на множестве лишь допустимых стратегий; иначе говоря, если для стратегии u значение некоторого «второстепенного» частного критерия K_r оказывается хоть немного меньше, чем b_r, то она уже не может «претендовать» на роль оптимальной, сколь бы большим ни было для нее значение основного критерия. Сравнение (5) и (1) показывает, что метод последовательных уступок формально можно рассматривать как особую разновидность метода выделения основного частного критерия, отличающуюся наличием специфической процедуры назначения величин ограничений для задачи максимизации K_S (это обстоятельство фактически уже использовалось при доказательстве теоремы 1).