Структуризация задач принятия решений в условиях определенности Некорректно поставленные задачи (стр. 2 из 6)

6. методы сетевого планирования и управления (принятие решений с помощью оценки и перераспределения ресурсов при выполнении проектов, изображаемых сетевыми графиками);

7. методы многокритериальной (векторной) оптимизации (принятие решений при условии существования многих критериев оптимальности решения)

и другие методы. (Ист. №9)

2. Некорректно поставленные задачи

В качестве основного объекта рассматривается операторное уравнение: Az = u , где A - линейный оператор, действующий из гильбертова пространства Z в гильбертово пространство U. Требуется найти решение операторного уравнения z, соответствующее заданной неоднородности (или правой части уравнения) u.

Такое уравнение является типичной математической моделью для многих физических, так называемых обратных, задач, если предполагать, что искомые физические характеристики z не могут быть непосредственно измерены, а в результате эксперимента могут быть получены только данные u, связанные с z с помощью оператора A.

Французским математиком Ж. Адамаром были сформулированы следующие условия корректности постановки математических задач, которые мы рассмотрим на примере записанного операторного уравнения. Задача решения операторного уравнения называется корректно поставленной (по Адамару), если выполнены следующие три условия (условия корректности):

1) задача имеет решение при любых допустимых исходных данных (решение существует ∀u ∈U);

2) каждым исходным данным u соответствует только одно решение (решение единственно);

3) решение устойчиво (если u n →u ,

, Az = u , то z n →z).

Смысл первого условия заключается в том, что среди исходных данных нет противоречащих друг другу условий, что исключало бы возможность решения задачи.

Второе условие означает, что исходных данных достаточно для однозначной определённости решения задачи. Эти два условия обычно называют условиями математической определённости задачи. Условие 2) обеспечивается тогда и только тогда, когда оператор A является взаимно однозначным (инъективным). Условия 1) и 2) означают, что существует обратный оператор

, причем его область определения D( ) (или множество значений оператора A, R(A)) совпадает с U.

Условие 3) означает, что обратный оператор

является непрерывным, т.е. “малым” изменениям правой части u соответствуют “малые” изменения решения z. Третье условие обычно трактуется как физическая детерминированность задачи. Это объясняется тем, что исходные данные физической задачи, как правило, задаются с некоторой погрешностью; при нарушении же третьего условия как угодно малые возмущения исходных данных могут вызывать большие отклонения в решении.

Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному условию корректности, называются некорректными задачами (или некорректно поставленными). Более того, Ж. Адамар считал, что только корректные задачи должны рассматриваться при решении практических задач. Однако хорошо известны примеры некорректно поставленных задач, к изучению и численному решению которых приходится прибегать при рассмотрении многочисленных прикладных задач. Нужно отметить, что устойчивость и неустойчивость решения связаны с тем, как определяется пространство решений Z. Выбор пространства решений (в том числе и нормы в нем) обычно определяется требованиями прикладной задачи. Задачи могут быть некорректно поставленными при одном выборе нормы и корректно поставленными при другом.

Многочисленные обратные (в том числе и некорректные) задачи можно найти в различных областях физики. Так, астрофизик не может активно воздействовать на процессы, происходящие на далеких звездах и галактиках, ему приходится делать заключения о физических характеристиках весьма удаленных объектов по их косвенным проявлениям, доступным измерениям на Земле или вблизи Земли (на космических станциях). Прекрасные примеры некорректных задач можно найти в медицине, прежде всего, нужно отметить вычислительную (или компьютерную) томографию. Хорошо известны приложения некорректных задач в геофизике (на самом деле, легче и дешевле судить о том, что делается под поверхностью Земли, решая обратные задачи, чем заниматься бурением глубоких скважин), радиоастрономии, спектроскопии, ядерной физике и т.д., и т.п.

Хорошо известным примером некорректно поставленной задачи является интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода. Пусть оператор A имеет вид:

Пусть ядро интегрального оператора K(x, s) - функция, непрерывная по совокупности аргументов x ∈[c, d], s ∈[a,b], а решение z(s) - непрерывная на отрезке [a,b] функция. Тем самым, можно рассматривать оператор A как действующий в следующих пространствах: A :C[a,b]→ C[c, d]. (Пространство C[a,b] состоит из функций, непрерывных на отрезке [a,b]. Норма z ∈C[a,b]определяется как

). Покажем, что в этом случае задача решения интегрального уравнения является некорректно поставленной. Для этого нужно проверить условия корректности постановки задачи:

1) Существование решения для любой непрерывной на [c, d] функцииu(x) . На самом же деле, это не так: существует бесконечно много непрерывных функций, для которых решения нет.

2) Единственность решения. Это условие выполняется в том и только в том случае, если ядро интегрального оператора замкнуто.

Первые два условия корректности эквивалентны условию существования обратного оператора

с областью определения D( )=C[c,d]. Если ядро интегрального оператора замкнуто, то обратный оператор существует, однако область его определения не совпадает с C[c,d].

3) Устойчивость решения. Это означает, что для любой последовательности

последовательность z n → . Устойчивость эквивалентна непрерывностиобратного оператора при условии, что обратный оператор существует. В данном случае это нетак, что видно из следующего примера. Пусть последовательность непрерывных функций , n=1, 2, …, такая, что на промежутке и обращается в нуль вне данного интервала, max| z (s) |=1, s∈[a, b], а последовательность чисел d → 0 +0 .

4) Такая функция может быть выбрана, например, кусочно-линейной. Тогда для любого x ∈[c, d]

при

Последовательность функций

равномерно, т.е. по норме C[c,d], сходится к = 0.

Хотя решение уравнения

в этом случае = 0 , последовательность не стремится к , так как .

Интегральный оператор A является вполне непрерывным при действии из

в

, при действии из C[a,b] в и при действии из C[a,b] в C[c,d]. (Пространство

состоит из функций, интегрируемых с квадратом на отрезке [a,b]. Норма z∈ определяется как ). Это означает, что любую ограниченнуюпоследовательность этот оператор преобразует в компактную. Компактная последовательность поопределению обладает тем свойством, что из любой ее подпоследовательности можно выделитьсходящуюся. Легко указать последовательность , , из которой нельзя выделить сходящуюся в C[a,b] подпоследовательность. Например,