Структуризация задач принятия решений в условиях определенности Некорректно поставленные задачи (стр. 4 из 6)

Оператор

называется регуляризирующим оператором, если для любого z ∈Z . Легко видеть, что данное определение эквивалентно данному выше.

Аналогично можно дать определение регуляризирующего алгоритма для задачи вычисления значений оператора (см. конец предыдущего параграфа), т.е. для задачи вычисления значений отображения G : D(G) → Y, D(G) ⊆X при условии, что аргумент задан с погрешностью (X, Y – метрические или нормированные пространства). Разумеется, задача решения операторного уравнения при условии, что A – инъективный оператор, может рассматриваться как задача вычисления значений оператора

.

Огромное значение имеет ответ на следующий очень важный вопрос, можно ли решить некорректную задачу, т.е. построить регуляризирующий алгоритм, не зная погрешность δ Если задача корректна, то устойчивый метод, очевидно, можно построить и без знания δ.

Так, в случае решения операторного уравнения

. В случае некорректных задач это невозможно. Приведенная ниже теорема принадлежит А.Б.Бакушинскому и была им доказана для задачи вычисления значений оператора. Аналогичная теорема имеет место и для решения операторного уравнения.

Теорема. Если для вычислений значений оператора G на множестве D(G) ⊆X существует регуляризирующий оператор, не зависящий от δ (явно), то существует продолжение G на X , которое непрерывно на D(G) ⊆X.

Итак, построение регуляризирующих алгоритмов, не зависящих явно от погрешности,

возможно только для задач, корректных на своей области определения.

Следующим свойством некорректно поставленных задач является невозможность оценить погрешность решения, даже если известна погрешность задания правой части операторного уравнения или погрешность задания аргумента в задаче вычисления значений оператора. Этот принципиально важный результат был также впервые доказан А.Б.Бакушинским для решения операторного уравнения.

Теорема. Пусть

для любого z ∈D ⊆Z . Тогда сужение обратного оператора на множество AD: непрерывно на AD. Таким образом, равномерная по z оценка погрешности решения операторного уравнения на множестве D ⊆Z возможна только в том случае, когда обратный оператор непрерывен на AD. Таким образом, равномерная по z оценка погрешности решения операторного уравнения на множестве D ⊆Z возможна только в том случае, когда обратный оператор непрерывен на AD. Данная теорема справедлива и для нелинейных операторных уравнений, причем в метрических пространствах.

Из определения регуляризирующего алгоритма легко следует, что, если есть хотя бы один регуляризирующий алгоритм, то их может быть сколько угодно. Выбрать же тот, который дает наименьшую ошибку, или сравнивать алгоритмы, сравнивая ошибки полученных приближенных решений, при решении некорректных задач, невозможно при отсутствии априорной информации, которая фактически преобразует такие задачи в корректные.

Регуляризирующие алгоритмы для операторных уравнений в бесконечномерных банаховых пространствах нельзя сравнивать и по скорости сходимости приближенного решения к точному при стремлении погрешности входных данных к нулю. Этот важный результат принадлежит В.А.Винокурову. (Ист. №1)

4. Адаптивные регуляризирующие алгоритмы

1. Пусть Z,U – гильбертовы пространства, а A – линейный ограниченный оператор, действующий из Z в U. Рассмотрим операторное уравнение

Без ущерба для общности будем считать, что ||A||<1. Предположим, что для

уравнение (1) имеет нормальное псевдорешение . Будем решать задачу его устойчивого нахождения по приближенным данным уравнения (1) , пологая оператор А заданным точно. Таким образом, требуется по данным найти такой элемент ,который сильно сходиться в Z к при .

2. Эта задача может быть решена многими методами (регуляризирующими алгоритмами). Например, для ее решения можно использовать метод невязки (в обобщенной форме для решения несовместных уравнений). В этом методе приближение

к ищется как решение экстремальной задачи

.

Здесь

- оценка меры несовместности

решаемого операторного уравнения. Известно, что без привлечения дополнительной информации об искомом решении или о точных данных задачи ( ) метод невязки не может обеспечить точность приближенного решения лучше, чем . Аналогичная ситуация складывается и при использовании метода регуляризации А. Н. Тихонова, в котором наилучшая возможная точность есть , как бы ни выбирался параметр регуляризации. Это явление обычно называют «насыщением точности» регуляризирующего алгоритма (РА). Его можно избежать, если учесть в РА априорную информацию о свойствах точного решения. Например, если известно, что , где , то, используя величину p, можно построить РА, которые дают приближение с порядком точности , оптимальным на классе задач (1) с решениями указанного вида.

С другой стороны, можно, не зная величины р, но используя оценку

, построить РА, которые позволяют устойчиво определять число р и получать приближение к с оптимальным порядком точности для произвольного р>0. Алгоритмы такого рода предлагаются в данной заметке.

3. Сформулируем основные положения. Пусть известно, что нормальное псевдорешение

задачи (1) истокообразно представимо с помощью степени оператора . Поскольку такое представление не единственно, будем иметь ввиду, что

где р>0 – максимально возможное число. В общем случае число р полагается неизвестным, но при этом считается, что дана величина r.

Ниже будет использована величина

- устойчивая оценка меры несовместимости уравнения (1), удовлетворяющая требованиям:

.

В качестве

можно выбрать, например, упомянутое выше число .

4. Методику построения алгоритмов рассмотрим на примере специализированного метода невязки. Предлагаемый РА основан на решении экстремальной задачи: при заданном параметре

найти элемент такой, что

(C=const > 1). Алгоритм состоит из двух шагов:

1) Найти число

2) Вычислить при

решение задачи (3) и применять элемент в качестве приближения к .