Метод простых итераций с попеременно чередующимся шагом (стр. 2 из 3)
. 
. Первый сомножитель 
для 
. Второй сомножитель 
для малых 
близок к единице, т.е. тоже положителен. Поэтому 
по крайней мере для всех 
, не превосходящих первой стационарной точки. Найдём стационарные точки функции 
. 
.Первые два сомножителя не равны нулю, в противном случае
. Следовательно, 
─ полное квадратное уравнение. Отсюда получим, что 
─ стационарные точки функции
. Рассмотрим 
: 
где
.Имеем
,так как первые два сомножителя при условии (4.3) положительны. Значит,
─ точка максимума функции . Оценим 
в точке . 
Покажем, что
. (4.7)Предположим, что (4.7) справедливо. Оно равносильно неравенству
,которое, в свою очередь, равносильно такому
(4.8)Возведение в квадрат обеих частей неравенства (4.8) даст эквивалентное неравенство, если левая часть неотрицательна. Установим, при каких
это будет. 
Очевидно, при
, 
.Будем считать
и возведём обе части неравенства (4.8) в квадрат. После приведения подобных членов получим 
или 
,т.е.
.При
последнее неравенство справедливо и, следовательно, в силу равносильности неравенств, справедливо неравенство (4.7). Отсюда 
.Оценим теперь
. Покажем, что 
, (4.9)т.е.
, т.е.
Преобразовав последнее неравенство, получим
После возведения обеих частей неравенства в квадрат и приведения подобных членов, получим очевидное неравенство
.В силу равносильности неравенств справедливо неравенство (4.9), так что
.Таким образом, для
справедлива оценка 
.Оценим
в точке 
.Сначала потребуем, чтобы
, т.е.
.Усилим неравенство
.Отсюда
. При 
, причём, при 
.Пусть 
, тогда при условии 
(4.10)имеем
, т.е. 
. В противном случае 
, и оно нас не интересует. Оценим при условии (4.10) функцию 
.Для этого сначала оценим
, так как в точке 
функция 
. Найдем, при каких условиях выполняется неравенство 
(4.11)Подставив
в (4.11), получим 
что после упрощения даёт
Возведём обе части неравенства в квадрат, получим
1 случай:
2 случай:
Следовательно:
Очевидно, что при условии (4.5) это неравенство справедливо и, следовательно, справедливо (4.11). Итак, при условиях (4.5) и (4.10) справедлива оценка
.На концах отрезка
имеем 
. Таким образом, получим следующие оценки для :1. в точке
;2. в точке
при условии (4.5) и (4.11) 
;3. в точке
.Найдём условия, при которых
, т.е. 
. Это равносильно условию 
. (4.12)Таким образом, если выбирать
и 
из условия (4.12), то 
.