Методы решения уравнений линейной регрессии (стр. 2 из 3)
Схема критерия:
2,995
(2,67; 3,57), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.Проведенная проверка предпосылок регрессионного анализа показала, что для модели выполняются все условия Гаусса–Маркова.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t–критерия Стьюдента (
).t–статистика для коэффициентов уравнения приведены в таблице 4.
Для свободного коэффициента
определена статистика 
.Для коэффициента регрессии
определена статистика 
.Критическое значение
найдено для уравнения значимости и числа степеней свободы 
с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР.Схема критерия:
Сравнение показывает:
, следовательно, свободный коэффициент a является значимым. 
, значит, коэффициент регрессии b является значимым.5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F–критерия Фишера (
), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.Коэффициент детерминации R–квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ и составляет
.Таким образом, вариация объема выпуска продукции Y на 79,5% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложений X.
Проверим значимость полученного уравнения с помощью F–критерия Фишера.
F–статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 2) и составляет
.Критическое значение
найдено для уровня значимости и чисел степеней свободы 
, 
.Схема критерия:
Сравнение показывает:
; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассчитаем дополнительный столбец относительных погрешностей, которые вычислим по формуле
с помощью функции ABS (таблица 5).
| ВЫВОД ОСТАТКА | |||
| Наблюдение | Предсказанное Y | Остатки | Отн. Погр-ти |
| 1 | 27,14150943 | 6,858490566 | 20,17% |
| 2 | 29,30660377 | -3,306603774 | 12,72% |
| 3 | 30,02830189 | -6,028301887 | 25,12% |
| 4 | 35,08018868 | 2,919811321 | 7,68% |
| 5 | 35,80188679 | -0,801886792 | 2,29% |
| 6 | 40,13207547 | -0,132075472 | 0,33% |
| 7 | 45,90566038 | -3,905660377 | 9,30% |
| 8 | 45,90566038 | 5,094339623 | 9,99% |
| 9 | 46,62735849 | -1,627358491 | 3,62% |
| 10 | 48,07075472 | 0,929245283 | 1,90% |
По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение
(функция СРЗНАЧ).Схема проверки:
Сравним: 9,31% < 15%, следовательно, модель является точной.
Вывод: на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать полностью адекватной. Дальнейшее использование такой модели для прогнозирования в реальных условиях целесообразно.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости
, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.Согласно условию задачи прогнозное значение факторной переменной Х составит 80% от 49, следовательно,
. Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя У: 
.Таким образом, если объем капиталовложений составит 39,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции составит около 48 млн. руб.
Зададим доверительную вероятность
и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования:
Предварительно подготовим:
- стандартную ошибку модели
(Таблица 2);- по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение
(функция СРЗНАЧ) и определим 
(функция КВАДРОТКЛ).Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет:
При
размах доверительного интервала для среднего значения 
Границами прогнозного интервала будут
Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложений составит 39,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции будет от 45,3 млн. руб. до 50,67 млн. руб.
7. Представить графически фактические и модальные значения Y точки прогноза.
Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).
Затем с помощью опции Добавить линию тренда… построим линию модели:
тип → линейная; параметры → показывать уравнение на диаграмме.
Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого в опции Исходные данные добавим ряды:
Имя → прогноз; значения
; значения 
;Имя → нижняя граница; значения
; значения 
;Имя → верхняя граница; значения
; значения 
8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической; степенной; показательной.
8.1 Гиперболическая модель
Уравнение гиперболической функции:
= a + b/x.Произведем линеаризацию модели путем замены X = 1/x. В результате получим линейное уравнение
= a + bX.Рассчитаем параметры уравнения по данным таблицы 2.
b =
= 
а =
=38,4+704,48*0,03=60,25.Получим следующее уравнение гиперболической модели:
= 60,25-704,48/х.8.2 Степенная модель
Уравнение степенной модели имеет вид:
=аxbДля построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: