Числовая последовательность понятие и виды (стр. 3 из 4)
В результате решения этой задачи получился ряд чисел 1, 2, 3, 5,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.д. Этот ряд чисел позже был назван именем Фибоначчи, так называли Леонардо.
Чем же примечательны числа, полученные Фибоначчи?
(В этом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел). Математически ряд Фибоначчи записывается следующим образом:
И1, И2, : Иn, где Иn = И n - 1 + И n - 2
Такие последовательности, в которых каждый член является функцией предыдущих, называют рекуррентными, или возрастными последовательностями.
Рекуррентным является и ряд чисел Фибоначчи, а члены этого ряда называют числами Фибоначчи.
Оказалось, что они обладают рядом интересных и важных свойств.
Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции.
Ф - обозначение золотой пропорции от имени Фидий - греческий скульптор, применявший золотую пропорцию при создании своих творений.
[Если при делении целого на две части отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части, то такая пропорция называется "золотой" и равно примерно 1,618].
1.5.1.Связь чисел Фибоначчи сдругими областями знаний
Свойства ряда чисел Фибоначчи неразрывно связаны с золотой пропорцией и выражают порой магическую и даже мистическую сущность закономерностей и явлений.
Фундаментальную роль числа в природе определил еще Пифагор своим утверждением "Все есть число". Поэтому математика являлась одной из основ религии последователей Пифагора (пифагорейского союза). Пифагорейцы считали, что бог Дионис положил число в основу мировой организации, в основу порядка; оно отражало единство мира, его начало, а мир представлял собой множество, состоящее из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству, и есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых соотношениях.
Числа Фибоначчи обладают многими интересными свойствами. Так, сумма всех чисел ряда от 1-го до Иn равна следующему через одно число (Иn+2) без 2-х единиц.
Отношение расположенных через одно чисел Фибоначчи в пределе стремится к квадрату золотой пропорции, равному приблизительно 2,618: Удивительное свойство! Получается, что Ф + 1 = Ф2.
Золотая пропорция является иррациональной величиной, она отражает иррациональность в пропорциях природы. Числа Фибоначчи отражают целочисленность природы. Совокупность этих закономерностей отражают диалектическое единство двух начал: непрерывного и дискретного.
В математике известны фундаментальные числа
и е, к ним возможно добавить Ф.Оказывается все эти универсальные иррациональные числа, широко распространенные в различных закономерностях, связаны между собой.
е
i + 1 = 0 - эта формула открыта Эйлером и позже де Муавром и названа в честь последнего.Ф = 2 Cos
Не свидетельствуют ли эти формулы об органическом единстве чисел е,
, Ф?Об их фундаментальности?
1.5.2. Использование ряда чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы
Мир живой и неживой природы, казалось бы между ними дистанция огромного размера, это скорее антиподы, чем родственники. Но не следует забывать, что живая природа в конечном итоге возникла из неживой (если не на нашей планете, то в космосе) и должна была по законам наследственности сохранить какие-то черты своей прародительницы.
Мир неживой природы - это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Симметрия сохранилась и в живой природе. Симметрия растений унаследована от симметрии кристаллов, симметрия которых унаследована от симметрии молекул и атомов, а симметрия атомов - от симметрии элементарных частиц.
Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике. Движение протоплазмы в клетке часто спиральное, носители информации - молекулы ДНК - также скручены в спираль. Установлены и винтовое расположение атомов в некоторых кристаллах (винтовые дислокации). Кстати, кристаллы с винтовой структурой обладают сверхпрочностью. Не потому ли живая природа и предпочла этот вид структурной организации, унаследовав его от неорганических веществ?
Чем же может быть выражена данная закономерность, сходство живой и неживой природы?
Чешуйки сосновой шишки располагаются по спирали, их число равно 8 и 13 или 13 и 21. В корзинках подсолнечника семена также располагаются по спиралям, их число обычно составляет 34 и 55 или 55 и 89.
Присмотритесь к ракушкам. Когда-то они служили домиками для маленьких моллюсков, которые они выстроили сами. Моллюски давно погибли, а их домики будут существовать тысячелетия. Выступы-ребра на поверхности ракушки инженеры называют ребрами жесткости - они резко повышают прочность конструкции. Эти ребра расположены по спирали и в любой ракушке их 21.
Возьмите любую черепаху - от болотной до гигантской морской - и вы убедитесь, что рисунок на панцире у них аналогичный: на овальном поле расположено 13 сросшихся пластин - 5 пластин в центре и 8 - по краям, а на периферийной кайме около 21 пластины.
На лапах у черепах 5 пальцев, а позвоночный столб состоит из 34 позвонков. Все указанные величины отвечают числам Фибоначчи.
У ближайшего родственника черепахи - крокодила туловище покрыто 55 роговыми пластинами. На теле кавказской гадюки расположено 55 темных пятен. В ее скелете насчитывается 144 позвонка.
Следовательно, развитие черепахи, крокодила, гадюки, формирование их тел, осуществлялось по закону ряда чисел Фибоначчи.
У комара: 3 пары ног, на голове 5 усиков - антенны, брюшко делится на 8 сегментов.
У стрекозы: массивный корпус и длинный тонкий хвост. В корпусе выделяется три части: голова, грудь, брюшко.
Брюшко разделено на 5 сегментов, хвост состоит из 8 частей.
Нетрудно видеть в этих числах развертывание ряда чисел Фибоначчи. Длина хвоста, корпуса и общая длина стрекозы связаны между собой золотой пропорцией: L хвоста = L стрекозы = Ф
- L корпуса
- L хвоста
Высшим типом животных на планете являются млекопитающие. Число позвонков у многих домашних животных равно или близко 55, число пар ребер примерно 13, грудная кость содержит 7 + 1 элемент.
У собаки, свиньи, лошади - 21 + 1 пара зубов, у гиены - 34, у одного из видов дельфинов - 233.
Ряд чисел Фибоначчи определяет общий план развития организма, эволюции видов. Но развитие живого осуществляется не только скачками, но и непрерывно. Организм любого животного находится в постоянном изменении, постоянном приспособлении к среде своего обитания. Мутации наследственности нарушают план развития. И неудивительно, что при общем преобладающем проявлении чисел Фибоначчи в развитии организмов часто наблюдаются отклонения от дискретных величин. Это не ошибка природы, а проявление подвижности организации всего живого, его непрерывного изменения.
Числа Фибоначчи отражают основную закономерность роста организмов, следовательно, и в строении человеческого тела они должны каким-то образом проявиться.
У человека:
1 - туловище, голова, сердце и т.д.
2 - руки, ноги, глаза, почки
Из 3 частей состоят ноги, руки, пальцы рук
5 пальцев на руках и ногах
8 - состав руки вместе с пальцами
12 пар ребер (одна пара атрофирована и присутствует в виде рудимента)
20 - число молочных зубов у ребенка
32- число зубов у взрослого человека
34 - число позвонков
Общее число костей скелета человека близко к 233.
Этот список частей тела человека можно продолжить. В их перечне очень часто встречаются числа Фибоначчи или близкие к ним величины. Отношение рядом стоящих чисел Фибоначчи приближается к золотой пропорции, значит, и соотношение чисел различных органов часто отвечает золотой пропорции.
Человек, как и другие живые творения природы, подчиняется всеобщим законам развития. Корни этих законов нужно искать глубоко - в строении клеток, хромосом и генов, и далеко - в возникновении самой жизни на Земле.
2. Собственные исследования.
Задача № 1.
Какое число должно стоять вместо вопросительного знака 5; 11; 23; ?; 95; 191? Как вы его нашли?
Решение:
Нужно умножить предыдущее число на 2 и прибавить единицу. Так получаем:
(5∙2)+1=11;
(11∙2)+1=23;
(23∙2)+1=47 => 47- число вместо знака вопроса.
Ответ: 47.
Задача № 2.
Найти сумму Sn=1/(1∙2)+1/(2∙3)+1/(3∙4)+…+1/n(n+1)
Решение:
Запишем что 1/n(n+1)= 1/n - 1/(n+1). Тогда перепишем сумму в виде разности =>
Sn= (1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…+(1/(n-1) – 1/n)+ (1/n - 1/(n+1))= 1-1/(n+1)= =n/(n+1n).
Ответ: n/(n+1n).
Задача № 3.
Пользуясь определение предела последовательности, докажите что:
ℓim n→∞an=a, еслиan= (3n-1)/(5n+1); a= 3/5
Решение:
Покажем, что для любого ε>0 существует такой номер N(ε), что |an-a|< ε, для
n> N(ε)
|an-a|<|(3n-1)/(5n+1) - 3/5| = |(5(3n-1)-3(5n+1))/5(5n+1)|= |-8/5(5n+1)|= 8/5(5n+1)
8/5(5n+1) < ε => 5n+1> 8/5ε => n> (8/25ε)- 1/5
Из последнего неравенства следует что можно выбрать N(ε)= [(8/25ε)- 1/5] и при любых n> N(ε) будет выполняться неравенство |an-a|< ε. Значит, по определению предела последовательности ℓimn→∞ (3n-1)/(5n+1)=3/5