Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках (стр. 1 из 2)

Реферат по геометрии на тему

«Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках

2009 год

Цели:

Углубить знания по теме «Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках»

Задачи:

Систематизировать знания по этой теме

Подготовиться к задачам повышенной сложности в ЕГЭ

Теория

Вписанная окружность

Определение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на пересечении биссектрис треугольника.

Свойство: в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Признак: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Описанная окружность

Определение: если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Центр окружности, описанной около треугольника, находится на пересечении серединных перпендикуляров.

Свойство: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180˚.

Признак: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180˚, то около него можно описать окружность.

Взаимное расположение прямой и окружности:

AB – касательная, если OH = r

Свойство касательной:

AB ┴ OH (OH – радиус, проведенный в точку касания H)

Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки:

AB = AC

ﮮ BAO = ﮮ CAO

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2 = a2 + b2

Медиана

Медиана (от лат. mediana — средняя), отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон на синус угла между ними:

Площадь треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними:

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы:

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:

Прямоугольный треугольник

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой:

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:

Задачи:

Задача 1: окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.

Дано: ∆ BCD – равнобедренный, K є BC, A є DC, BK = 15, KC = 10

Найти: KA

Решение:

CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 25

CK = CA = 10 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), CB = CD, следовательно AD = CD – CA, AD = 25 – 10 = 15

BE = BK = 15, DE = DA = 15 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), следовательно BD = 15 + 15 = 30

∆ CKA ~ ∆ CBD (ﮮC – общий, CK : CB = CA : CD), следовательно KA : BD = CA : CD, KA : 30 = 10 : 25, KA = 10 ∙ 30 : 25 = 12

Ответ: KA = 12

Задача 2: Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром O. Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.

Дано: ∆ ABC – равнобедренный, AC – основание, ﮮ ACB = 75˚,

площадь ∆ BOC равна 16

Найти: радиус описанной окружности

Решение:

Проведем медианы AF, CE, BH

∆ ABC – равнобедренный, BH – медиана, следовательно, BH – высота, а значит ∆ HBC – прямоугольный

ﮮ HBC = 90˚ - ﮮ ACB, ﮮ HBC = 90˚ - 75˚ = 15˚

BO = OC = R, следовательно, ∆ BOC – равнобедренный, значит ﮮHBC = ﮮECB = 15˚

ﮮ COB = 180˚ - (ﮮ HBC + ﮮECB), ﮮ COB = 180˚ - (15˚ + 15˚) = 150˚

S =

∙ BO ∙ OC ∙ sin ﮮ BOC (теорема о площади треугольника), SBOC = ∙ R ∙ R ∙ sin 150˚ = ∙ R ∙ R ∙ = ∙ R2 ; ∙ R2 = 16; R2 = 16 : = 64; R = = 8

Ответ: R = 8

Задача 3: периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него окружности – 6 м. Найдите диаметр описанной окружности.

Дано: ∆ ABC – прямоугольный, P = 72 м, r = 6 м

Найти: BC

Решение:

DO = OF = OE = r = 6 м, следовательно AD = AF = 6 м

FC = EC, BD = BE (отрезки касательных, проведенные из одной точки)

Пусть BD = x, FC = y, тогда AB = x + 6, AC = y + 6, BC = x + y

По теореме Пифагора AB2 + AC2 = BC2

P = AB + BC + AC, P = x + 6 + x + y + y + 6 = 2x + 2y + 12

2x + 2y + 12 = 72

(x + 6)2 + (y + 6)2 = (x + y)2

2x + 2y = 60 I: 2

x2 + 12x + 36 + y2 + 12y + 36 = x2 + 2xy + y2

x + y = 30

12x – 2xy + 12y + 72 = 0 I: 2

y = 30 – x

6x – xy + 6y + 36 = 0

6x – x(30 – x) + 6(30 – x) + 36 = 0

6x – 30x + x2 + 180 – 6x + 36 = 0

x2 – 30x + 216 = 0

D = (-30)2 – 4 ∙ 1 ∙ 216 = 900 – 864 = 36

x1 =

= = 18, x2 = = = 12

y = 30 – x

x = 18

y = 12

x = 12

y = 18

BC = x + y

BC = 18 + 12 = 30 (м)

Ответ: 30 м – диаметр описанной окружности

Задача 4: вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.

Дано: окружность, разделенная на 4 большие и 4 малые части, радиус = R, большая часть в два раза длиннее малой.

Найти:

Решение:

Пусть ﮮAOB = 2x, ﮮBOC = x, тогда по условию 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ﮮAOB = 60°, ﮮBOC = 30°