Функциональная зависимость и регрессия (стр. 8 из 10)

2.5. Определение доверительных интервалов

для коэффициентов и функции регрессии

Весьма важным для оценки точности определения зависимой переменной (прогноза) является построение доверительного интервала для функции регрессии или для условного математического ожидания зависимой переменной

, найденного в предположении, что объясняющие переменные приняли значения, задаваемые вектором ).

Обобщая соответствующие выражения на случай множественной регрессии, можно получить доверительный интервал для

:

где

— групповая средняя, определяемая по уравнению регрессии,

ее стандартная ошибка.

При обобщении формул (2.15) и (2.14) аналогичный доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной

примет вид:

где

.

Доверительный интервал для дисперсии возмущений

в множественной регрессии с надежностью = 1 — строится аналогично парной модели по формуле (2.20) с соответствующим изменением числа степеней свободы критерия :

.

Формально переменные, имеющие незначимые коэффициенты регрессии, могут быть исключены из рассмотрения. В экономических исследованиях исключению переменных из регрессии должен предшествовать тщательный качественный анализ. Поэтому может оказаться целесообразным все же оставить в регрессионной модели одну или несколько объясняющих переменных, не оказывающих существенного (значимого) влияния на зависимую переменную.

2.6. Мультиколлинеарность

Под мултиколлинеарностью понимается высокая взаимная коррелированностъ объясняющих переменных. Мультиколлинеарность может проявляться в функциональной (явной) стохастической (скрытой) формах. При функциональной форме мультиколлинеарности по крайней мере одна из парных связей между объясняющими переменными является линейной функциональной зависимостью. В этом случае матрица Х'Х особенная, так как содержит линейно зависимые векторы-столбцы и ее определитель равен нулю, т.е. нарушается предпосылка 6 регрессионного анализа. Это приводит к невозможности решения соответствующей системы нормальных уравнений и получения оценок параметров регрессионной модели.

Однако в экономических исследованиях мультиколлинеарность чаще проявляется в стохастической форме, когда между хотя бы двумя объясняющими переменными существует тесная корреляционная связь. Матрица Х'Х в этом случае является неособенной, но ее определитель очень мал. В то же время вектор оценок b и его ковариационная матрица К в соответствии с формулами пропорциональны обратной матрице

а значит, их элементы обратно пропорциональны величине определителя . В результате получаются значительные средние квадратические отклонения (стандартные ошибки) коэффициентов регрессии и оценка их значимости по t-критерию не имеет смысла, хотя в целом регрессионная модель может оказаться значимой по F-критерию.

Оценки

становятся очень чувствительными к незначительному изменению результатов наблюдений и объема выборки. Уравнения регрессии в этом случае, как правило, не имеют реального смысла, так как некоторые из его коэффициентов могут иметь неправильные с точки зрения экономической теории знаки и неоправданно большие значения. Один из методов выявления мультиколлинеарности заключается в анализе корреляционной матрицы между объясняющими переменными и выявлении пар переменных, имеющих высокие коэффициенты корреляции (обычно больше 0,8).Если такие переменные существуют, то говорят о мультиколлинеарности между ними. Полезно также находить множественные коэффициенты корреляции между одной из объясняющих переменных и некоторой группой из них. Наличие высокого множественного коэффициента корреляции (обычно принимают больше 0,8) свидетельствует о мультиколлинеарности. Другой подход состоит в исследовании матрицы Х'Х. Если определитель матрицы Х'Х близок к нулю (например, одного порядка с накапливающимися ошибками вычислений), то это говорит о наличии мультиколлинеарности. Для устранения или уменьшения мультиколлинеарности используется рад методов. Один из них заключается в том, что из двух объясняющих переменных, имеющих высокий коэффициент корреляции (больше 0,8), одну переменную исключают из рассмотрения. При этом, какую переменную оставить, а какую удалить из анализа, решают в первую очередь на основании экономических соображений. Если с экономической точки зрения ни одной из переменной.Нельзя отдать предпочтение, то оставляют ту из двух переменных, которая имеет больший коэффициент корреляции с зависимой переменной. Другим из возможных методов устранения или уменьшения мультиколлинеарности является использование пошаговых процедур отбора наиболее информативных переменных. Например, вначале рассматривается линейная регрессия зависимой переменной Y объясняющей переменной, имеющей с ней наиболее высокий коэффициент корреляции (или индекс корреляции при нелинейной форме связи). На втором шаге включается в рассмотрение та объясняющая переменная, которая имеет наиболее высокий частный коэффициент корреляции с Y и вычисляется множественный коэффициент (индекс) корреляции. На третьем шаге вводится новая объясняющая переменная, которая имеет наибольший частный коэффициент корреляции с Y, и вновь вычисляется множественный коэффициент корреляции и т.д. Процедура введения новых переменных продолжается до тех пор, пока добавление следующей объясняющей переменной существенно не увеличивает множественный коэффициент корреляции.

2.7. Понятие о других методах многомерного статистического анализа

Многомерный статистический анализ определяется как раздел математической статистики, посвященный математическим методам построения оптимальных планов сбора, систематизации и обработки многомерных статистических данных, направленных на выявление характера и структуры взаимосвязей между компонентами исследуемого признака и предназначенных для получения научных и практических выводов. Многомерные статистические методы среди множества возможных вероятностно-статистических моделей позволяют обоснованно выбрать ту, которая наилучшим образом соответствует исходным статистическим данным, характеризующим реальное поведение исследуемой совокупности объектов, оценить надежность и точность выводов, сделанных на основании ограниченного статистического материала. С некоторыми разделами многомерного статистического анализа, такими, как многомерный корреляционный анализ, множественная регрессия, многомерный дисперсионный анализ. Приведем теперь краткий обзор ряда других методов многомерного статистического анализа, которые уже нашли отражение в статистических пакетах прикладных программ. В первую очередь следует выделить методы, позволяющие выявить общие (скрытые или латентные) факторы, определяющие вариацию первоначальных факторов. К ним относятся факторный анализ и метод главных компонент.