Парная регрессия 3 (стр. 2 из 3)

5. Проверим значимость оценки параметра регрессии

с помощью критерия Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии:

Н₀: b = 0,

Н₁: b

0.

Конкурирующая гипотеза Н₁ определяет двустороннюю критическую область.

Данная гипотеза Н₀ проверяется с помощью случайной величины

= , которая имеет распределение Стьюдента с k = 12– 2 = 10 степенями свободы.

Заполняем столбцы 7 и 8 табл. 1. Для того чтобы найти

, надо значения фактора (столбец 2 табл. 1) подставить в уравнение (2).

Предварительно найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии

по формуле

,

где

– это несмещенная оценка остаточной дисперсии , она равна

(табл. 1, столбец 8).

Тогда стандартная ошибка регрессии

(занесем этот результат в табл. 4).

Дисперсия объясняющего фактора Х вычисляется по формуле

= = 87,74.

Итак,

0,02207.

Найдем наблюдаемое значение критерия Стьюдента:

= .

Заносим два последних ответа в табл. 4. По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 1) находим

t_кр.дв(a; k) = t_кр.дв(0,1; 10) = 1,81.

Сравниваем |

| и t_кр.дв(a; k). Так как | | > t_кр.дв(a; k), то попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза о незначимости коэффициента регрессии отвергается при 10-процентном уровне значимости. Справедлива конкурирующая гипотеза Н₁: b¹ 0,оценка параметра

статистически значима, признаки Х и Y взаимосвязаны.

Таким образом, если прирост капиталовложений увеличится на 1%, то выпуск валовой продукции увеличится в среднем на 0,22132 млн.руб.

6. Построим доверительный интервал для коэффициента регрессии b.

– t_кр.дв(α; k) + t_кр.дв(α; k) .

Подставляем значения из п. 5:

,

(заносим результат в табл. 4).

Таким образом, при увеличении темпа прироста капиталовложений на 1% выпуск валовой продукции увеличится в среднем с 0,18 до 0,26 млн. руб.

7. Проверим значимость оценки параметра

с помощью критерия Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу о незначимости свободного члена уравнения.

Н₀: а = 0,

Н₁: а

0.

Конкурирующая гипотеза Н₁ определяет двустороннюю критическую область.

Данная гипотеза Н₀ проверяется с помощью случайной величины

= , которая имеет распределение Стьюдента с k = 12– 2 = 10 степенями свободы.

Предварительно найдем стандартную ошибку

по формуле

.

Найдем наблюдаемое значение критерия Стьюдента

= .

Заносим ответы

и в табл. 4. По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 1) находим

t_кр.дв(a; k) = t_кр.дв(0,1; 10) = 1,81.

Сравниваем |

| и t_кр.дв(a; k). Так как | | > t_кр.дв(a; k), то попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза о незначимости свободного члена отвергается при 10-процентном уровне значимости. Справедлива конкурирующая гипотеза Н₁: а¹ 0,оценка параметра

статистически значима.

8. Построим доверительный интервал для свободного члена уравнения:

– t_кр.дв.(α; k) + t_кр.дв.(α; k) .

Подставляем значения из п. 7:

,

(вносим в табл. 4).

Границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки, поэтому линейную модель оставляем в общем виде[2]:

.

9. Построим таблицу дисперсионного анализа по общей схеме (табл. 2).

Таблица 2
Источник вариации	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений	Дисперсия на одну степень свободы	Fн
df	SS	MS	F– статистика
Регрессия	1	RSS =
Остаток	n – 2	ESS =
Итого	n – 1	TSS =

Сначала найдем среднее значение признака Y:

= 59,2= 4,93333(3).

Затем в табл. 1 заполним столбцы 9 и 10.

RSS =

– регрессионная сумма квадратов отклонений.

ESS =

– остаточная сумма квадратов отклонений.

TSS = RSS + ESS – общая сумма квадратов отклонений.

F– статистика рассчитана по формуле F =

.

Таблица 3
Источник вариации	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений	Дисперсия на одну степень свободы	Fн
df	SS	MS	F– статистика
Регрессия	1	51,57274	0,512884	100,55439
Остаток	10	5,12884
Итого	11	56,7

10. Оценим значимость линейной модели в целом при 10-процентном уровне значимости. Выдвигаем гипотезу о незначимости линейной модели.

Н₀: модель незначима,

Н₁: модель значима.

Конкурирующая гипотеза Н₁ определяет правостороннюю критическую область.

Данная гипотеза проверяется с помощью случайной величины F, которая имеет распределение Фишера – Снедекора с

и степенями свободы.