Описанная сфера на олимпиадах и ЕГЭ (стр. 3 из 7)
Рис.9
Так как МN — средняя линия треугольника КАS, то SN =
SК. Сравнивая длины отрезков SN и SL, без труда докажем, что при любых а, α иβ
(из геометрических соображений следует, что а > 0, 0° <
< 90° и 0° < β < 90°). Следовательно, каковы бы ни были размеры а, α и β пирамиды SАВС, центр О описанного шара всегда лежит вне пирамиды. Это в свою очередь означает, что вынесенная нами плоская конфигурация в плоскости КАSможет иметь лишь вид, указанный на рис 8; расположения, изображенные на рис. 7 и 9, в действительности иметь места не могут. Рассматривая рис. 8, легко покажем, что 
= β, а потому LO = NLtgβ = (SL—SN)tgβ. Подставляя сюда полученные выше выражения для SL и SN, получаем после очевидных вычислений:LО =
аtgα 
sinβ.Наконец, из прямоугольного треугольника ОLSнаходим
R =
= 
.Как видим, выкладки в задаче оказались простыми — главная трудность решения лежит в рассуждениях, устанавливающих положение центра описанного шара.
Ответ: R =
.Пример 2.В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоским углом при вершине. Найти объем пирамиды, а также боковую поверхность конуса, описанного около указанной пирамиды.
Рис.10
Решение. Пусть сторона основания пирамиды равна a, радиус основания конуса, описанного около этой пирамиды равен r, тогда
(рис. 10). Грани пирамиды – равнобедренные треугольники. Тогда DK – высота, медиана и биссектриса ABD. Из прямоугольного треугольника ADK имеем 
. Высоту пирамиды найдем из прямоугольного треугольника AOD: 
, 
.DM – диаметр шара. Тогда в сечении шара, проходящем через диаметр DM и точку А, получим прямоугольный треугольник AMD. Из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике имеем
, 
откуда 
Тогда площадь основания найдем по формуле:
.И из формулы
находим объем пирамиды: 
.Ребро AD по определению описанного конуса является его образующей. Тогда найдем боковую поверхность описанного конуса по формуле Sбок = rl:
.Ответ:
; 
.Пример 3. В основании пирамиды лежит квадрат со стороной а. Высота пирамиды проходит через середину одного из ребер основания и равна
. Найти радиус сферы, описанной около пирамиды. 
Рис.11
Решение. Типичной ошибкой при решении этой задачи является утверждение о том, что центр описанной сферы находится на грани SBC (рис. 11). В действительности положение точки О не связано с гранью SBC.
В силу равноудаленности точки О от вершин S, A, B, C, D следует, что OABCD – правильная четырехугольная пирамида. Следовательно, на грань ABCD точка О проектируется в точку М – точку пересечения диагоналей. Треугольник ASD равнобедренный, тогда высота пирамиды SK является медианой треугольника ASD,
. Из прямоугольного треугольника SAK найдем SA: 
, 
Следовательно, треугольник SAD – равносторонний и OASD – правильная треугольная пирамида. Тогда точка О проектируется на грань SAD в центр треугольника SAD . Отсюда
, 
.Из треугольника SON находим искомый радиус SO,
, 
.Ответ:
.Пример 4. В шар радиуса R вписана правильная шестиугольная усечённая пирамида, у которой плоскость нижнего основания проходит через центр шара, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60
. Определить объём пирамиды. 
Рис.12
Решение. По условию,
OAA1 = 60 (рис. 12); значит, О1ОА1=30 и А1О1 = 
А1О = 
,OO1 = 
.Находим
Sнижн.осн.= 6
, Sверхн. осн.= 
нижн. осн. 
.Окончательно получим
.Ответ:
2.2 Примеры олимпиадных заданий с призмой
Пример 1. В шар, объем которого равен V, вписана прямая треугольная призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник с острым углом
, а наибольшая ее боковая грань есть квадрат. Найти объем призмы. 
Рис.13
Решение. Сначала определим положение центра шара относительно призмы. Сечения шара плоскостями оснований призмы - круги, в которые вписаны эти основания (рис. 13), а так как основания призмы равны, то равны и одинаково удалены от центра шара круги сечений. Каждый из центров О1 и О2совпадает с серединой соответствующей гипотенузы.
Рис.14
Рис.15
Из свойств сечений шара плоскостью известно, что перпендикуляр, проведенный из центра шара О кплоскости круга сечения, проходит через центр этого круга. Следовательно, О1О
плоскости АВС. Прямая О1О проходит также через O2 и перпендикулярна плоскости 
Таким образом, центр шара лежит на грани 
в середине отрезка O1O. Все боковые грани призмы — прямоугольники, причем грань — наибольшая из них (так как АВ — гипотенуза треугольника AВС). Эта грань по условию — квадрат. Сечение шара плоскостью грани — большой круг шара, поэтому радиус круга, изображенного на рис. 14, равен радиусу шара R. Заметим, что высота призмы АА1= a4 = 
. Теперь остается найти площадь основания: