Традиционные методы вычислительной томографии (стр. 2 из 6)

. (2.2)

Задача ставится следующим образом: функция

неизвестна, но известна функция , являющаяся образом в пространстве Радона; требуется по функции определить . Другими словами решение поставленной задачи сводится к отысканию явной формулы обращения или к поиску преобразования, обратного преобразованию Радона. Впервые формула обращения была получена в статье Иоганна Радона, опубликованной в 1917 году в Трудах Саксонской академии наук. Однако эта работа была незаслуженно забыта и формула обращения была открыта заново в 1961 году.

Согласно определению радоновского образа и с учетом того, что интеграл от заданной функции вдоль прямой равен интегралу по всей плоскости произведения этой функции на

- функцию, аргументом которой является левая часть уравнения (2.3), имеем [6,7]

. (2.3)

Интегрирование, осуществляемое по двум переменным, можно свести к интегрированию по одной переменной. Для этого введем еще одну прямоугольную систему координат

, повернутую относительно на угол . Вспомним, что при переходе от одной из этих систем координат к другой координаты меняются следующим образом:

(2.4)

(2.5)

Сделаем в (2.3) замену переменных (2.4)

=

=

(2.6)

Для функции

, отличной от нуля в пределах некоторой ограниченной области, ее радоновский образ также определяется выражением (2.3), только интегрирование проводится не по всей плоскости, а задается границами данной области. Так, если отлична от нуля внутри круга радиуса , то вместо (2.6) имеем

. (2.7)

В общем случае функция, описывающая радоновский образ, обладает одним важным свойством

. (2.8)

Физический смысл этого свойства состоит в том, что любые пары

и согласно (2.1) задают одну и ту же прямую.

Приведем примеры, которые иллюстрируют вычисление радоновских образов.

Пример 1.

Пусть

. Подставим это выражение в (2.6) и получим (см. Приложение А)

=

=

. (2.9)

Из (2.9) следует, что если функция

отлична от нуля в точке , то функция, описывающая ее образ в пространстве Радона , отлична от нуля на линии

, (2.10)

где .

Рисунок 5.

- функция (а) и ее радоновский образ (б)

Пример 2.

Пусть

. Подставляя это выражение в (2.6), получим

. (2.11)

Рисунок 6. Функция (а) и ее радоновский образ (б)

Область, где

принимает максимальные значения, представляет собой линию, которая определяется выражением (2.10).

Пример 3.

При

(2.12)

получаем

(2.13)

Рисунок 7. Функция (а) и ее радоновский образ (б)

2.2 В случае самоизлучающего объекта основной задачей ЭВТ является задача восстановления двумерного распределения источников излучения

. Для простоты будем считать, что область, в которой распределены источники излучения, целиком расположена в области поглощения излучения, характеризующейся функцией распределения коэффициента ослабления . Обычно при измерениях с помощью ЭВТ, также как и при ТВТ, используют круговую схему с параллельными проекциями.

Рисунок 8. Круговая геометрия измерений в ЭВТ.

В [3] показано, что для ЭВТ с постоянным коэффициентом ослабления

экспоненциальное преобразование Радона в декартовых координатах имеет вид

, (2.14)

а в полярных координатах

. (2.15)

Выражение (2.15) можно переписать в другом виде

. (2.16)

2.3 Выражения (2.3), (2.6) позволяет по функции

найти ее радоновский образ . Существует соотношение, определяющее аналогичную связь между преобразованием Фурье этих функций. Пусть - одномерное преобразование Фурье функции по переменной , а - двумерное преобразование Фурье функции по переменным . Согласно определению

, (2.17)

. (2.18)

В трехмерном пространстве введем прямоугольную систему координат, у которой по одной оси отложены значения

, а по двум другим – значения и .

Рисунок 9. Центральное сечение двумерного преобразования Фурье