Традиционные методы вычислительной томографии (стр. 3 из 6)
Проведем плоскость, перпендикулярную плоскости
и проходящую через начало координат, такую, что линия ее пересечения с плоскостью составляет с осью 
угол, равный 
(центральное сечение двумерного преобразования Фурье). В сечении этой плоскости со значениями функции 
получается некоторая одномерная функция, зависящая от положения точки на этой прямой, например от ее расстояния до начала координат. Если это расстояние равно 
, координаты точки этой прямой в плоскости равны 
и 
. Следовательно, подстановкой , превращается в 
.Теорема.
Пусть функция
и ее радоновский образ 
таковы, что существуют их преобразования Фурье. Тогда одномерное преобразование Фурье радоновского образа по переменной 
равно функции, описывающей центральное сечение двумерного преобразования Фурье, соответствующее тому значению , при котором вычисляется преобразование Фурье функции 
. (2.19)Для доказательства (2.19) подставим в (2.17) вместо
выражение (2.6) и сделаем замену переменных, аналогичную (2.4), полагая в (2.4) 
. Тогда получаем 
= 
. (2.20)Сравнивая последний интеграл в (2.20) с (2.18), видим, что они равны, если в (2.20) под
и 
понимать соответственно 
и 
. Следовательно, последний интеграл в (2.20) равен 
, что и доказывает сформулированную теорему. Легко убедиться, что теорема о центральном сечении справедлива и для случая, когда верно равенство (2.7).2.4 Рассмотрим теперь формулы обращения и алгоритмы реконструкции, основанные на теореме о центральном сечении. Известно, что по двумерному преобразованию Фурье
можно найти :
. (2.21)Сделаем в (2.21) замену переменных, перейдя в плоскости
к полярным координатам 
, так что , . Тогда (2.21) принимает вид: 
. (2.22)Теперь воспользуемся равенством (2.19) и вместо
подставим в (2.22) функцию 
, после чего получим 
(2.23)Равенство (2.23) и является искомой формулой обращения, позволяющей с учетом (2.17) по
найти функцию 
. Однако привлечение этого равенства для обработки данных томографических экспериментов оказывается не очень удобным из-за используемой в нем области интегрирования. Принимая во внимание равенство 
, (2.24)получим окончательное выражение для обращения преобразования Радона (см. Приложение Б)
. (2.25)Для выявления детальной структуры алгоритма восстановления перепишем
(2.25) в несколько ином виде. Обозначим
(2.26)и введем функцию от
и равную 
. (2.27)Тогда (2.25) принимает вид
, (2.28)где при вычислении интеграла по
величина должна быть заменена в соответствии с (2.26) на 
. В целом, алгоритм обращения преобразования Радона можно интерпретировать как последовательность операций:1) для данного радоновского образа
определяется его преобразование Фурье ;2) функция
умножается на 
;3) вычисляется обратное преобразование Фурье произведения
и тем самым определяется функция 
;4) аргументу
функции присваивается значение (2.26);5) проводится интегрирование функции
по углу .Рассмотрим теперь иной вид формулы обращения по сравнению с (2.25). Обозначим через
импульсную реакцию фильтра с частотной характеристикой . Связь между этими функциями устанавливается прямым и обратным преобразованием Фурье 
(2.29) 
(2.30)Заметим, что функция
обладает свойством 
.Подставим в (2.25) вместо
правую часть (2.30), а вместо 
- (2.17). Тогда получим 
(2.31)Интегрирование по
дает 
, а последующее интегрирование по 
приводит к выражению
(2.32)Выражение (2.32) отличается от (2.25) тем, что в последнем участвует преобразование Фурье радоновского образа, а в (2.32) сам радоновский образ. Алгоритм (2.32) можно представить как совокупность трех последовательных операций:
1) вычисляется свертка данного радоновского образа с функцией
;