Математические основы системы остаточных классов (стр. 16 из 19)

Еще один путь решения поставленной задачи представляет собой перевод числа из СОК в ОПС с дополнительным финальным шагом. Рассмотрим этот метод.

Пусть СОК состоит из оснований

, , …, . Объем диапазона этой системы будет . Добавим к числу оснований СОК новое основание . Объем диапазона этой системы . Тогда любое число из диапазона [0; ) в обобщенной позиционной системе счисления представимо в виде = + +…+ + + . Если число будет лежать в первоначальном диапазоне [0; ), то в ОПС цифра = 0. Этот факт и используется для получения остатка от деления числа на новое основание СОК .

Пусть число

имело представление ( , , …, ) по основаниям , , …, . Добавляем новое основание , тогда число =( , , …, , ) в системе оснований , , …, , , где – остаток от деления числа на , т.е. искомая цифра по новому основанию.

Для определения этой цифры рассматриваем алгоритм перевода числа из СОК в ОПС, включая неизвестную цифру

в проводимые операции. При этом мы последовательно будем получать цифры ОПС , , …, и выражение для цифры . Но так как по предположению число [ 0; ), то цифра = 0. Из полученного соотношения и определяем искомую цифру .

Пример. Пусть задана система модулей

= 2, = 3, = 5, = 7, тогда = 2·3·5·7=210. И пусть задано число = 157= (1, 1, 2, 3). Расширим систему оснований, добавляя = 11. Пусть = (1, 1, 2, 3, ) в системе оснований = 2, = 3, = 5, = 7, = 11. Набор констант = задается матрицей

Процесс решения задачи покажем

Расширение оснований модулярного кода

Действия	Модули					Цифры СОК
	2	3	5	7	11
_ ха1	11	11	21	31	1	а1=0
х-а1´	0	02	13	24	-1 6
_ х1а2	00	30	10	6 -6 0	а2=0
х1-а2´	0	32	15	6 -6 4
_ х2а3	11	51	2 -2 1	а3=1
х2-а3´	0	43	2 -3 9
_ х3а4	55	7 -5 5	А4=5
х3-а4´	0	7 -10 8
x4	-3	а5= -3

Таким образом, а₅ =

– 3, но по условию а₅ = 0, т.е. – 3 = 0, откуда = 3. Получим расширенное представление числа = 157 = (1, 1, 2, 3, 3) по основаниям