Правильные многогранники (стр. 2 из 3)

На рисунках изображены разверстки каждого из пяти правильных многогранников.

Правильный тетраэдр

Правильный октаэдр

Правильный гексаэдр

Правильный икосаэдр

Правильный додекаэдр

Некоторые свойства правильных многогранников приведены в следующей таблице.

Вид грани	Плоский уголпри вершине	Вид многогранногоугла при вершине	Сумма плоскихуглов при вершине	В	Р	Г	Название многогранника
Правильныйтреугольник		3-гранный		4	6	4	Правильный тетраэдр
Правильныйтреугольник		4-гранный		6	12	8	Правильный октаэдр
Правильныйтреугольник		5-гранный		12	30	20	Правильный икосаэдр
Квадрат		3-гранный		8	12	6	Правильный гексаэдр (куб)
Правильный пятиугольник		3-гранный	ё	20	30	12	Правильныйдодекаэдр

У каждого из правильных многогранников, помимо уже указанных, нас чаще всего будут интересовать:

1. Величина его двугранного угла при ребре (при длине ребра a).

2. Площадь его полной поверхности (при длине ребра a).

3. Его объем (при длине ребра a).

4. Радиус описанной около него сферы (при длине ребра a).

5. Радиус вписанной в него сферы (при длине ребра a).

6. Радиус сферы, касающихся всех его ребер (при длине ребра a).

Наиболее просто решается вопрос о вычислении площади полной поверхности правильного многогранника; она равна Г

, где Г – количество граней правильного многогранника, а - площадь одной грани.

Напомним, sin

= , что дает нам возможность записать в радикалах: ctg = . Учитывая это составляем таблицы:

а) для площади грани правильного многогранника

Вид грани	Длина стороны	Длина апофемы грани	Площадь грани
Правильный треугольник	a	0,5
Квадрат	a	0,5a
Правильный пятиугольник	a

б) для площади полной поверхности правильного многогранника

Вид многогранника	Вид граней	Количество граней	Площадь полной поверхности
Правильный тетраэдр	Правильный треугольник	4
Правильный октаэдр	Правильный треугольник	8
Правильный икосаэдр	Правильный треугольник	20
Правильный гексаэдр (куб)	Квадрат	6	6a
Правильный додекаэдр	Правильный пятиугольник	12

Теперь перейдем к вычислению величины двугранного угла

правильного многогранника при его ребре. Для правильного тетраэдра и куба вы легко найдете величину этого угла.

В правильном додекаэдре все плоские углы его граней равны

, поэтому, применив теорему косинусов для трехгранных углов к любому трехгранному углу данного додекаэдра при его вершине, получим: cos , откуда

.

На изображенном правильном октаэдре ABCDMFвы можете убедиться, что двугранный угол

при ребре октаэдра равен 2arctg .