Правильные многогранники (стр. 3 из 3)

Попытайтесь сначала доказать, что если центр каждой грани любого правильного многогранника провести прямую, перпендикулярную плоскости этой грани, то все проведенные прямые пересекутся в некоторой одной точке О, удаленной от всех граней данного многогранника на одно и тоже расстояние, которое обозначим r. Точка О окажется центром сферы, вписанной в данный многогранник, а r – ее радиусом. Соединив полученную точку О со всеми вершинами данного многогранника, мы разобьем его на Г равных между собой пирамид (Г—число граней правильного многогранника): основаниями образованных пирамид равны r. Тогда объем данного многогранника равен сумме объемов всех этих пирамид. Так как многогранник правильный, то его объем V можно найти по формуле:

(1)

Остается найти длину радиуса r. Для этого, соединив точку О с серединой К ребра многогранника, попробуйте убедиться, что наклонная КО к грани многогранника, содержащей ребро, составляет с плоскостью этой грани угол, равный половине величины

двугранного угла при этом ребре многогранника; проекция же наклонной КО на плоскость этой грани принадлежит ее апофеме и равна радиусу вписанной в нее окружности. Тогда

(2)
где p—полупериметр грани. Тогда из (1) и (2) получаем общую для всех правильных многогранников формулу вычисления их объемов:

.

Эта формула совершенно не нужна для нахождения объемов куба, правильных тетраэдра и октаэдра, но позволяет довольно легко находить объемы правильных икосаэдра и додекаэдра.

Вид многогранника	Объем многогранника
Правильный тетраэдр
Правильный октаэдр
Куб
Правильный икосаэдр
Правильный додекаэдр

Министерство образования РФ г. Янаул

по геометрии на тему «Правильные многогранники».

Выполнил: Хабибьянов Д.Р.

Проверила: Нургаянова Т.С.

2004 год.