по Экономико-математическим моделям (стр. 1 из 2)
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ЭММ
Контрольная работа
по дисциплине «Экономико-математическим моделям»
Вариант № 1
Исполнитель:
Специальность: Бухгалтерский учет, анализ и аудит
Группа:
№ зачетной книжки:
Руководитель:
Задача 1
1.1. Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено по крайней мере в два раза больше, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.
Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В – 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?
Решение:
1) Введем необходимые обозначения:
Пусть Xi – вложения (количество денежных у. е.) в ценную бумагу вида i.
i – вид ценной бумаги ( i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)
Х1 – вложения в акции А,
Х5 – вложения в краткосрочные облигации и т. д.
Ci – доход, приносимый ценной бумагой вида i, в коэффициентах:
Например, С2 = 0,12 – доход от акции В, и т. п.
| Вложение | № бумаги ( i ) | Доход, коэффициент |
| Акции А | 1 | 0,15 |
| Акции В | 2 | 0,12 |
| Акции С | 3 | 0,09 |
| Долгосрочные облигации | 4 | 0,11 |
| Краткосрочные облигации | 5 | 0,08 |
| Срочный вклад | 6 | 0,06 |
Требуется найти вектор Х с координатами:
X ( X1; X2; X3; X4; X5; X6 ),
2) Цель задачи: максимизировать годовой доход от портфеля выбранных бумаг.
F (X) = ∑ Xi* Сi(mах)
F (X) = 0,15 X1 + 0,12 X2 + 0,09 X3 + 0,11 X4 + 0,08 X5 + 0,06 X6
3) Ограничения:
- Все 300 тыс. руб. должны быть инвестированы:
- ∑ Xi = 500;
- По крайней мере 100 тыс. руб. должны быть на срочном вкладе:
o Х6 > = 100;
- По крайней мере, 25 % средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском: т. е. X3 должны составлять по крайней мере четверть от общей суммы вклада в акции:
- X3 > = 0,25 ∑ (X1 ; X2 ; X3);
- В облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же, сколько в акции:
- ∑ (X4 ; X5 ) > = 0,25 ∑ (X1 ; X2 ; X3);
- Не более чем 125 тыс. руб. должно быть вложено в бумаги с доходом менее 10 % - это акции С, краткосрочные облигации и срочный вклад:
X3 + X5 + X6 < = 125.
Значит, ограничения выглядят так:
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 500;
Х6 > = 100;
X3 > = 0,25 ∑ (X1 ; X2 ; X3);
∑ (X4 ; X5 ) > = 0,25 ∑ (X1 ; X2 ; X3);
X3 + X5 + X6 < = 125;
Xi > = 0 ( i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Ожидаемый годовой доход по той или иной бумаге (особенно по акциям) – это не более чем оценка. Оптимальный портфель и ожидаемая величина дохода от портфеля выбранных бумаг чувствительны к этим оценкам. Наиболее сильно влияет на оценку суммарного ожидаемого дохода ценная бумага
Задача 2
2.1. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Тип сырья | Нормы расхода сырья на ед. продукции | Запасы сырья | |||
| А | Б | В | Г | ||
| I II III | 1 1 1 | 2 1 3 | 1 2 3 | 012 | 18 30 40 |
| Цена изделия | 12 | 7 | 18 | 10 | |
Требуется:
1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
- определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II вида на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;
- оценить целесообразность включения в план изделий "Д" ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Решение:
1. Построим ЭММ задачи. Обозначим через хi - объем выпуска готовой продукции j-го вида. С учетом критерия оптимальности «max выручки», будем иметь ЭММ задачи:
maxf (х) = 12х1 + 7х2 + 18 х3 + 10 х4
Ограничения отражают условия ограниченности запасов сырья.
1х1 + 2х2 + 1х3 ≤ 18 - затраты 1-го вида ресурсов на выпуск всей продукции
1х1 + 2х3 + 1х2 + 1х4 ≤ 30 - затраты 2-го вида ресурсов на выпуск всей продукции
1х1 + 3х2 + 3х3 + 2х4 ≤ 40 - затраты 3-го вида ресурсов на выпуск всей продукции
хj≥ 0,
Реализуя эту ЭММ задачу средствами Excel получим решение:
| Переменные | |||||||
| X1 | X2 | X3 | X4 | ||||
| значение | 18 | 0 | 0 | 1 | ЦФ | ||
| коэф. В ЦФ | 12 | 7 | 18 | 10 | 226 | ||
| Ограничения | |||||||
| Вид ресурса | левая часть | знак | правая часть | ||||
| 1 | 1 | 2 | 1 | 0 | 18 | <= | 18 |
| 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 19 | <= | 30 |
| 3 | 1 | 3 | 3 | 2 | 20 | <= | 40 |
Оптимальный план выпуска продукции: Х*= (18, 0, 0,11),
f (Х*) = 226
2. Для определения двойственных оценок построим двойственную задачу:
min φ (y) = 18y1 + 30y2 + 40y3
1y1 + 1y2 + 1y3 ≥ 12
2y1 + 1y2 + 3y3 ≥ 7
1y1 + 2y2 + 3y3 ≥ 18
0y1 + 1y2 + 1y3 ≥ 10
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0
Реализуя эту ЭММ задачу средствами Excel получим решение:
| Переменная | у1 | у2 | у3 | |
| 2 | 10 | 0 | ||
| Коэффициент | 18 | 30 | 40 | 336 |
| 1 | 1 | 1 | 12 | 12 |
| 2 | 1 | 3 | 17 | 17 |
| 1 | 2 | 3 | 18 | 18 |
| 0 | 1 | 1 | 10 | 10 |
Чтобы оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида необходимо произвести оценку затрат на единицу продукции:
2*1 + 10*1 + 1*0 + 2= 14 > 12
Изделие не выгодно включать в план, т.к. затраты на его изготовление не покрываются ценой продажи.
Задача 3
3.1.Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.
Требуется:
1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
Исходные данные приведены в таблице
| Предприятия (виды продукции) | Коэффициенты прямых затрат аij | Конечный продукт | ||
| 1 | 2 | 3 | ||
| 1 | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 200 |
| 2 | 0,2 | 0,1 | 0,0 | 150 |
| 3 | 0,0 | 0,2 | 0,1 | 250 |
Решение:
| 0,1 | 0,2 | 0,1 | 200 | ||
| А = | 0,2 | 0,1 | 0,0 | Y = | 150 |
| 0,0 | 0,2 | 0,1 | 250 |
1. Проведем оценку по первому признаку продуктивности: матрица (Е-А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица и все ее элементы неотрицательны. Определим матрицу (Е-А). С помощью функции МОБР Мастера функций Exсel найдем обратную матрицу. Поскольку все элементы матрицы В неотрицательны, то матрица А продуктивна.
| 1. Межотраслевые поставки продукции | |||||||
 | -5 | 0 | 5 | ||||
| 10 | 10 | -10 | |||||
| -5 | -20 | 15 | |||||
 | 1 | 2,22E-16 | 1,11022E-16 | |
| -4,44089E-16 | 1 | 0 | ||
| 0 | -4,4E-16 | 1 | ||
| E-A | 0,9 | -0,2 | -0,1 | |
| -0,2 | 0,9 | 0 | ||
| -0,3 | -0,2 | 0,9 | ||
 | 1,223564955 | 0,302115 | 0,135951662 | |
| 0,271903323 | 1,178248 | 0,03021148 | ||
| 0,468277946 | 0,362538 | 1,163141994 | ||
| X | 324,0181269 | |||
| 238,6706949 | ||||
| 438,8217523 | ||||
| Xij | 32,40181269 | 64,80363 | 32,40181269 | |
| 47,73413897 | 23,86707 | 0 | ||
| 131,6465257 | 87,76435 | 43,88217523 | ||
2. Руководствуясь балансовым методом планирования и экономическим смыслом прямых материальных затрат будем иметь следующую модель межотраслевого баланса. Для решения воспользуемся пакетом Exсel. В результате решения будем иметь следующие объемы валового продукта по предприятиям.