Теория сравнений (стр. 11 из 12)

Пример 5. Сравнению

удовлетворяют классы и . Имеет ли это сравнение еще одно решение?

Делим

на , находим:

так что

и, следовательно, это сравнение имеет три решения.

3.5 Сравнения по простому модулю с несколькими неизвестными

Некоторые из рассмотренных нами теорем можно легко обобщить на случай сравнений с несколькими неизвестными вида:

(3.24)

где

многочлен с целыми коэффициентами, а простое число.

Теорема 1. Если в левой части сравнения (3.24) некоторые из неизвестных встречаются в виде степени с показателем

, то сравнение (3.24) можно заменить эквивалентным сравнением, в котором степень каждого из неизвестных не превосходит .

Доказательство. Сравнение (3.24) эквивалентно сравнению

где

произвольный многочлен с целыми коэффициентами.

Если среди слагаемых

есть член вида

где

, то мы можем, взяв

,

заменить его членом

, затем и т.д.

Если

где , то в показателе для можно отбросить и получить эквивалентное сравнение, в котором слагаемое будет заменено на Проделав такие операции для всех слагаемых по отношению к каждому из неизвестных, входящему с показателем , получим сравнение, эквивалентное первоначальному, в котором степень по отношению к каждому неизвестному будет не больше чем .

Теорема 2. Если сравнение

степень которого по каждому неизвестному меньше чем , удовлетворяется при всех целых , то все коэффициенты многочлена делятся на .

Доказательство. Проведем индукцию по числу неизвестных

. При утверждение теоремы верно. Предположим, что утверждение теоремы верно при , и возьмем произвольное тождественное сравнение , степень которого по каждому неизвестному меньше чем . Если наибольший показатель степени неизвестного , то сравнение можно представить в виде:

где все

многочлены с целыми коэффициентами, степени которых по каждому неизвестному меньше чем . Если вместо подставить любые целые числа, то получим тождественное сравнение с неизвестной степени . Все коэффициенты этого сравнения: должны при любых значениях делиться на . Поскольку согласно предположению для многочленов от аргументов утверждение теоремы верно, все коэффициенты этих многочленов, а следовательно, и многочлена должны делиться на .

Согласно принципу полной математической индукции утверждение теоремы верно для любого числа аргументов.

4. Системы сравнений

4.1 Системы сравнений первой степени

Систему сравнений первой степени с одним и тем же неизвестным, но с разными модулями, запишем в общем виде так:

Общий способ (способ последовательного решения) состоит в том, что сначала находится

из первого сравнения, где – наименьший неотрицательный или абсолютно наименьший вычет по модулю и берется класс чисел

(